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2013年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分2．（5分）（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．4D．123．（5分）（2013•杭州一模）设a∈R，则“a=4”是“直线l1：ax+2y﹣3=0与直线l2：2x+y﹣a=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2013•杭州一模）设函数f（x）=2|x|，则下列结论正确的是（）A．f（﹣1）＜f（2）＜f（﹣）B．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）D．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）5．（5分）（2013•杭州一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a7＜a1＜a8，则必定有（）A．S7＞0，且S8＜0B．S7＜0，且S8＞0C．S7＞0，且S8＞0D．S7＜0，且S8＜07．（5分）（2013•杭州一模）设α是第三象限角，且tanα=2，则=（）A．B．C．D．8．（5分）（2013•杭州一模）设函数f（x）=|logax|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为，则实数a的值为（）A．或B．或C．或D．或9．（5分）（2013•杭州一模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF2F1等于（）A．B．C．D．10．（5分）（2013•杭州一模）已知函数，则函数F（x）=xf（x）﹣1的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.请将答案填在答题卷的横线上.11．（4分）（2013•杭州一模）在等比数列{an}中，若a2=1，a5=﹣8则a8=_________．菁优网©2010-2013菁优网12．（4分）（2013•杭州一模）若sinx+cosx=1，则=_________．13．（4分）（2013•杭州一模）若正数x，y满足x+y=1，则的最小值为_________．14．（4分）（2013•杭州一模）无穷数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5…的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推．记该数列为{an}，若an﹣1=7，an=8，则n=_________．15．（4分）（2013•杭州一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=，则直线ax﹣by+c=0被圆x2+y2=9所截得的弦长为_________．16．（4分）（2013•杭州一模）若实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为_________．17．（4分）（2013•杭州一模）设Q为圆C：x2+y2+6x+8y+21=0上任意一点，抛物线y2=8x的准线为l．若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m+|PQ|的最小值为_________．三、解答题：本大题有5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．18．（14分）（2013•杭州一模）设f（x）=6cos2x﹣sin2x（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，锐角A满足f（A）=3，B=，求的值．19．（14分）（2013•杭州一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（1，λsinA），=（sinA，1+cosA），且∥（Ⅰ）若λ=2，求角A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=sinA，求实数λ的取值范围．20．（14分）（2013•杭州一模）设在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=，数列{cn}的前n项和为Sn，若恒成立，求实数t的取值范围．菁优网©2010-2013菁优网21．（15分）（2013•杭州一模）设函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，（其中a＞0）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）当a=4时，给出直线l1：5x+2y=m=0和l2：3x﹣y+n=0，其中m，n为常数，判断直线l1或l2中，是否存在函数f（x）的图象的切线，若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．22．（15分）（2013•杭州一模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和⊙M：x2+y2+8x﹣12=0，过抛物线C上一点P（x0，y0）（y0≥0）作两条直线与⊙M相切与A、B两点，圆心M到抛物线准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当P点坐标为（2，2）时，求直线AB的方程；（Ⅲ）设切线PA与PB的斜率分别为k1，k2，且k1•k2=，求点P（x0，y0）的坐标．2013年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．菁优网©2010-2013菁优网2．（5分）（2009•辽宁）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．4D．12考点：向量加减混合运算及其几何意义．2351648分析：根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．解答：解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12∴|a+2b|=，故选B点评：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．3．（5分）（2013•杭州一模）设a∈R，则“a=4”是“直线l1：ax+2y﹣3=0与直线l2：2x+y﹣a=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定．2351648专题：阅读型．分析：根据直线ax+2y﹣3=0与直线l2：2x+y﹣a=0的斜截式，求出平行的条件，验证充分性与必要性即可．解答：解：当a=4时，直线4x+2y﹣3=0与2x+y﹣4=0平行，∴满足充分性；当：ax+2y﹣3=0与直线l2：2x+y﹣a=0平行⇒a=4，∴满足必要性．故选C点评：本题考查充要条件的判定．4．（5分）（2013•杭州一模）设函数f（x）=2|x|，则下列结论正确的是（）A．f（﹣1）＜f（2）＜f（﹣）B．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）D．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）考点：指数函数单调性的应用．2351648专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式，可判断出函数f（x）=2|x|为偶函数且在[0，+∞）上为增函数，将三个自变量化到同一单调区间内，进而利用单调性可比较大小．解答：解：当x≥0时，f（x）=2|x|=2x为增函数又∵f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x）故函数f（x）=2|x|为偶函数故f（﹣1）=f（1），f（﹣）=f（）∵2＞＞1故f（2）＞f（）＞f（1）即f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）故选D点评：本题考查的知识点是指数函数的单调性，函数的奇偶性，其中分析出函数的单调性是解答的关键．5．（5分）（2013•杭州一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若﹣a7＜a1＜a8，则必定有（）A．S7＞0，且S8＜0B．S7＜0，且S8＞0C．S7＞0，且S8＞0D．S7＜0，且S8＜0菁优网©2010-2013菁优网考点：等差数列的前n项和．2351648专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知﹣a7＜a1＜a8，可得a7+a1＞0，d＞0，a8＞a7，结合等差数列的求和公式可判断解答：解：∵﹣a7＜a1＜a8，∴a7+a1＞0，7d=a8﹣a1＞0∴d＞0，a8＞a7∴＞0∵S8=4（a1+a8）＞4（a1+a7）＞0故选C点评：本题主要考查等差数列的前n项和以及数列的函数特性．解决本题的关键是由a1＜0分析出数列递增．7．（5分）（2013•杭州一模）设α是第三象限角，且tanα=2，则=（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．2351648专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα=﹣，化简要求的式子为cosα，从而求得结果．解答：解：∵α是第三象限角，且tanα==2，可得sin2α+cos2α=1，可得cosα=﹣．故==cosα=﹣，故选B．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．8．（5分）（2013•杭州一模）设函数f（x）=|logax|（0＜a＜1）的定义域为[m，n]（m＜n），值域为[0，1]，若n﹣m的最小值为，则实数a的值为（）A．或B．或C．或D．或考点：对数函数的单调区间．2351648专题：函数的性质及应用．分析：通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出．解答：解：①若1≤m＜n，则f（x）=﹣logax，∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=0，f（n）=1，解得m=1，n=，菁优网©2010-2013菁优网又∵n﹣m的最小值为，∴，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=．②若0＜m＜n＜1，则f（x）=logax，∵f（x）的值域为[0，1]，∴f（m）=1，f（n）=0，解得m=a，n=1，又∵n﹣m的最小值为，∴，及0＜a＜1，当等号成立时，解得a=．③若0＜m＜1＜n时，不满足题意．故选B．点评：熟练掌握分类讨论的思想方法和对数函数的单调性是解题的关键．9．（5分）（2013•杭州一模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则cos∠PF2F1等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．2351648专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF1|=n，|PF2|=m，则由双曲线的定义可得m﹣n=2a①，再由m2+n2=4c2②，以及=5可得m=8a，故cos∠PF2F1==，运算求得结果．解答：解：设|PF1|=n，|PF2|=m，则由双曲线的定义可得m﹣n=2a①，且三角形PF1F2为直角三角形，故有m2+n2=4c2②．再由=5可得c=5a．把①和②联立方程组解得m=8a，故cos∠PF2F1====，故选C．点评：本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．10．（5分）（2013•杭州一模）已知函数，则函数F（x）=xf（x）﹣1的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7考点：函数零点的判定定理；分段函数的解析式求法及其图象的作法．2351648专题：压轴题；数形结合；转化思想．分析：求函数F（x）=xf（x）﹣1的零点个数，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=图象交点的个数，根据函数y=f（x）的解析式，我们在同一坐标系中分别画出两个函数图象，由图象即可求出两个函数的交点个数，即函数F（x）=xf（x）﹣1的零点个数．解答：解：∵，则函数F（x）=xf（x）﹣1的零点个数等于菁优网©2010-2013菁优网函数y=f（x）与函数y=图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如下图所示：由图可知函数y=f（x）与函数y=图象共有6个交点故函数F（x）=xf（x）﹣1的零点个数为6个，故选C点评：