20115柯西不等式在解题中的应用李锋

1柯西不等式在解题中的应用临颍县第一高级中学李锋柯西不等式中重要定理定理１：（二维形式的柯西不等式）设a,b,c,d均为实数，则22222()()()abcdacbd，当且仅当adbc时，等号成立。柯西不等式可以简单地记做：平方和的积≥积的和的平方定理２：（柯西不等式的向量形式）设,为两个向量，则||||||，当且仅当是零向量，或存在实数k使得k时等号成立。定理３：（二维形式的三角不等式）设1122,,,xyxyR，则22221122xyxy221212()()xxyy定理4：（柯西不等式的推广形式）设n为大于１的自然数，,(1,2,,)iiabin为任意实数，则2211nniiiiab21()niiiab，当且仅当0ib或存在一个实数k，使得(1,2,,)iiakbin时，等号成立。柯西不等式有许多证明方法，这里就不作证明，仅就如何利用柯西不等式解题作一些介绍。1、利用柯西不等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。例、已知,11122abba求证：122ba。证明：由柯西不等式，得11111222222bbaaabba当且仅当abab2211时，上式取等号，,1122baab,112222baba于是122ba。22、利用柯西不等式求最值有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误。这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略举例加以说明怎样利用柯西不等式来求解一些最值问题。例已知2221abc，若2|1|abcx对任意实数a,b,c恒成立，求实数x的取值范围。解：由柯西不等式，得2222()(112)(2)abcabc，22abc当且仅当2cab等号成立2abc的最大值为2又2|1|abcx恒成立|1|2,1,3xxx解得或另解1：构造向量设(,,)|1mabcm且｜，(1,1,2)n2||||2abcmnmn|1|2,1,3xxx解得或另解2：由均值不等式：22212222acac22212222bcbc22222221122()22()22abcacbcabc＝２3、柯西不等式证明不等式。很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。3例：设a,b,c为正数且不相等到，求证：cbaaccbba9222分析：我们利用9与2这两个常数进行巧拆，9=2111，accbbacba2这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。证明：22222222111211111111111192229abcabbccaabbccaabbccaabbccaabbccaabbccaabbccaabbccaabca,b,c各不相等，等号不可能成立，从而原不等式成立。有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。例：设,121nnaaaa求证：011111113221aaaaaaaannn分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：,11111322111nnnaaaaaaaa证明：为了运用柯西不等式，我们将11naa写成1322111nnnaaaaaaaa于是.111121322113221naaaaaaaaaaaannnn4即,1111111111132211322111nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa故.011111113221aaaaaaaannn4，利用柯西不等式解三角问题。三角问题包括三角不等式，三角方程。三角极值等到，对于一些三角问题，我们为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决。例、已知a,b为正常数，且0x2,求xbxaycossin的最小值。解：利用柯西不等式，得2332232323232cossincossinxbxaxxbaba等号成立的当且仅当33sincosxxab时；即3baarctgx时，于是xbxabacossin333232再由柯西不等式，得3232baxbxacossinxbxacossin33xbxacossin.coscossinsin23232266baxbxbxaxa等号成立也是当且仅当3baarctgx时。5从而xbxaycossin.233232ba于是xbxaycossin的最小值是.233232ba在许多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。