2013年考研数学三真题(word打印版)

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）档0x时，用)(xo表示比x的高阶无穷小，则下列式子中错误的是（）A、)()(32xoxoxB、)()()(32xoxoxoC、)()()(222xoxoxoD、)()()(22xoxoxo（2）设函数xxxxxfxln)1(1)(的可去间断点个数为()A.0B.1C.2D.3（3）设kD是圆域1),(22yxyxD位于第K象限的部分,记),4,3,2,1()(kdxdyxyIKDk则()A.01IB.02IC.03ID.04I（4）设na为正项数列,下列选项正确的是()A.若1nnaa，则nnna11)1(收敛B.若nnna11)1(收敛，则1nnaaC.若1nna收敛，则存在常数1P,使npnanlim存在D.若存在常数1P,使npnanlim存在,则1nna收敛（5）设矩阵A.B.C均为n阶矩阵，若AB=C,则B可逆，则（）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价（6）若矩阵1111aabaa和00000002b相似的充分必要条件为（）A.2,0baB.ba,0为任意数C.0,2baD.2a，b为任意数（7）设321,,XXX是随机变量，且)3,5(~),2,0(~),1,0(~23221NXNXNX,则,3,2,122jXPPjj则（）A.1P2P3PB.2P1P3PC.3P1P2PD.1P3P2P(8)设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为：则2YXP()A.121B.81C.61D.21二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设曲线)(xfy和xxy2在点（0,1）处有公共的切线，则)2(limnnnfn=______.(10)设函数yxzz,由方程xyyzx)(确定，则)2,1(xz=________.(11)求dxxx12)1(ln=______.(12)微分方程041yyy的通解为_____y（13）设A=（ija）是三阶非零矩阵，A为A的行列式，ijA为ija的代数余子势，若ijA+ija=0)3,2,1,(0jiaAijij，则A=_________.(14)设随机变量X服从标准正态分布)1,0(~NX,则____)(2XXeE。三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x时，1coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小，求n与a的值。X0123P21418181X-101P313131（16）（本题满分10分）设D是由曲线13yx，直线(0)xaa及x轴所围成的平面图形，,xyVV分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若10yxVV，求a的值。（17）（本题满分10分）设平面内区域D由直线3,3xyyx及8xy围成.计算2Dxdxdy。（18）（本题满分10分）设生产某产评的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为100060QP.(P是单价，单位：元；Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：(I)该商品的边际利润。(II)当50P时的边际利润，并解释其经济意义。(III)使得利润最大的定价P。（19）（本题满分10分）设函数)(xf在,0上可导，0)0(f且2)(limxfx，证明：（I）存在0a，使得1)(af。（II）对于（1）中的a，存在),0(a，使得aafaff10)0()()(。（20）（本题满分11分）设011aA，bB110，当ba,为何值时，存在矩阵C使得BCAAC,并求所有矩阵C.（21）（本题满分11分）设二次型22123112233112233,,2fxxxaxaxaxbxbxbx，记112233,ababab。（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT；（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy。（22）（本题满分11分）设),(YX是二维随机变量，X的边缘概率密度为)(xfX其他,010,32xx，在给定)10(xxX的条件下，Y的条件概率密度为)(xyfXY，其他00,332xyxy（I）求),(YX的概率密度),(yxf（II）Y的边缘密度)(yfY（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为)(xf其他,00,32xexx其中为未知参数且大于零，NXXX,21,为来自总体X的简单随机样本。（I）求的矩估计量。（II）求的最大似然估计量。