2013年高中数学教学论文分段函数的几个问题新人教版

用心爱心专心1分段函数的几个问题分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅，本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：1、分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。2、求分段函数的函数值例1已知函数132(0)()3(01)log(1)xxfxxxx,求{[()]}fffa(a0)的值。分析求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。()fx是分段函数，要求{[()]}fffa，需要确定[()]ffa的取值范围，为此又需确定()fa的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解。解∵a0,∴()2afa,∵02a1,∴[()]ffa=(2)af=3,∵31,∴{[()]}fffa=(3)f=13log3=－21,3、求分段函数的解析式例2已知奇函数()fx(xR)，当x0时，()fx=x(5－x)+1.求()fx在R上的表达式。解∵()fx是定义域在R上的奇函数，∴(0)f=0.又当x＜0时，－x0,故有()fx=－x[5－(－x)]+1=－x(5+x)+1。再由()fx是奇函数,()fx=－()fx=x(5+x)－1.∴(5)1(0)()0(0)(5)1(0)xxxfxxxxx例3求函数()fx=2x+(2－6a)x+32a(0≤x≤1)的最小值。解()fx=[x－(3a－1)]2－62a+6a－1∵0≤x≤1,当3a－10时，()fx的最小值为f(0)=32a,当0≤3a－1≤1时，()fx的最小值为f(3a－1)=－62a+6a－1；当3a－11时，()fx的最小值为f(1)=32a－6a+3。因此函数()fx的最小值可表示成关系于a的分段函数.用心爱心专心222213()312()661()332363()3aagaaaaaaa4、求分段函数的最值例4求函数23(0)3(01)5(1)xxyxxxx的最小值方法1先求每个分段区间上的最值，后比较求值。当x≤0时,y=()fx=2x+3,此时显然有ymaX=(0)f=3;当0x≤1时，y=()fx=x+3,此时ymax=(1)f=4当x1时，y=()fx=－x+5，此时y无最大值.比较可得当x=1时,ymax=4.方法2利用函数的单调性由函数解析式可知，()fx在x∈(∞,0)上是单调递增的，在x∈(0,1)上也是递增的，而在x∈(1,+∞)上是递减的，由()fx的连续性可知()fx当x=1时有最大值4方法3利用图像，数形结合求得作函数y=()fx的图像（图1），显然当x=1时ymax=4.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.Y4321012345x