2013年高中数学教学论文细节决定成败之集合问题中的陷阱

知识改变命运百度提升自我用心爱心专心-1-本文为自本人珍藏版权所有仅供参考细节决定成败——集合问题中的陷阱集合是数学中的最原始的概念之一，集合语言是现代数学的基本语言。在每年的高考中必考，且以选择题为主，难度不大，属高考试题中的送分题。但它涉及到中学数学的各个环节，稍不注意，就会出错。为了跳出出题者所设计的陷阱，就必须注意集合中的一些细节，细节决定成败。细节1、把握集合元素形式例1设集合A＝｛平面上的直线｝，B＝｛平面上的圆｝，则AB中的元素最多有个．错解：由直线与圆的位置关系可知，最多有２个故填２。错因分析：上述解法把集合A、B中元素为误认为了点集，由定势思维考虑两者之间的位置关系了。正解：集合Ａ中的元素形式是直线，集合Ｂ中的元素形式是圆，既是直线又是圆的是什么呢？故填０个。例2设集合A＝{y∣y＝2x＋1，xR}，B＝{x∣y＝x＋2}，求Ａ∩Ｂ．错解：显然Ａ＝｛y∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x∣ｙ≥２｝．所以A∩B=B．错因分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，是表示函数的值域。但集合B中的元素为x,是表示函数的定义域。正解：A＝{ｙ∣ｙ≥1}B＝{x∣x≥0}，所以故A∩B=A妙招：要认识集合：一看元素，看元素代表什么；二看属性；从而确定该集合表示的意义，是数集还是点集，是函数的定义域还是值域等，解决这一类问题时，一定要抓住集合中元素的形式，只有弄清了它们所具有的形式，才能准确地判断集合间的关系，进而进行相关的运算。解题时应认真领会，以防出错．细节2、检验集合中元素的互异性例３已知集合A={１，3，a}，B={１，2a－a＋１},且AB，求a的值．错解：经过分析知，若2a－,31a则2a,02a即1a或2a．若2a,1aa则2a,012a即1a．从而a＝－１，１，２．正解：经过分析知，若2a－,31a则2a,02a即1a或2a．若知识改变命运百度提升自我用心爱心专心-2-2a,1aa则2a,012a即1a．从而a＝－１，１，２．而当a＝１时，Ｂ中有两个相同的元素1，与互异性矛盾，应舍去，故a＝－１，２．例４设Ａ＝｛ｘ∣2x＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂR｝，求Ａ中所有元素之和．错解１：集合Ａ中的元素是方程的根，故由根与系数的关系可知，两根之和为－（ｂ＋２）。错解２：由2x＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得（ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０（１）当ｂ＝０时，ｘ1＝x2＝－１，此时Ａ中的元素之和为－２．（２）当ｂ０时，ｘ1＋x2＝－ｂ－２．错因分析上述解法犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．正解：集合Ａ中的元素是方程的根，由于22)1(4)2(bbb，故当ｂ＝０时，方程有二重根－１，由集合中元素的互异性，集合Ａ＝｛－１｝，所以元素之和为－１；当ｂ０时，ｘ1＋x2＝－ｂ－２．妙招：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里．要注意分类，注意求得结果后再代入检验。细节３、牢记空集的特殊性例５设集合Ａ＝｛ｘ∣2x－２ｘ－３＝０｝Ｂ＝｛x|ax-1=0｝且ＡＢ＝Ｂ，求实数a的值。错解：由Ａ＝｛３，－１｝Ｂ＝｛a1｝又ＡＢ＝Ｂ故ＢＡ所以131或a错因分析忽视了Ｂ＝的情形．正解：由Ａ＝｛３，－１｝，Ｂ集合是方程ax-1=0的根，当a＝０时，方程无根，此时集合Ｂ为空集，满足题意。当a不为０时，Ｂ＝｛a1｝所以131或a综合可得131或a或０。例６、已知41|xxA，121|mxmxB，求当AB求实数m的取值范围。错解：要使AB，应有41211121mmmm解得：252m.知识改变命运百度提升自我用心爱心专心-3-错因分析：错解忽略了B时的情况，因为当B时，AB亦成立。正解：（1）当B时，由错解可得：252m。（2）当B时，121mm，解得：2m，所以m的取值范围为：25m。妙招：涉及集合的交、并、补运算和子集关系时，注意集合是否为空集，即在限制条件下均有可能成立.空集是任意集合的子集，是非空集合的真子集.如果在解题中忽略空集易产生丢解的情况.解题时一定要慎重审题，周密考虑。细节４、挖掘隐含条件例７设全集Ｕ＝｛２，３，2a＋２a－３｝，Ａ＝｛∣２a－１∣，２｝，ACU＝｛５｝，求实数a的值．错解：∵ACU＝｛５｝，∴５Ｕ且５Ａ，从而，2a＋２a－３＝５，解得a＝２，或a＝－４．错因分析导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以首先必须满足ＡＵ．正解：当a＝２时，∣２a－１∣＝３Ｕ，符合题意；当a＝－４时，∣２a－１∣＝９U，不符合题意；故a＝２．妙招：在许多问题的题设中隐藏着某些条件，解题时，要注意题设中的细节，养成细心、规范解题的好习惯。细节５、注意等价转换例８、设集合Ｍ＝111|),(xyyxＮ＝1)1(,yxayx且NM求实数a.错解：集合M表示直线y=x-2上的点的集合，集合N表示直线y=(1-a)x+1上的点的集合。又NM（即两直线平行时），故1-a=1，即a0。错因分析：将集合M转化为直线y=x-2上的点的集合是不等价的，它应除去点（1，-1）。正解：集合M表示直线y=x-2上的不包括点（１，－１）的点的集合，集合N表示直线y=(1-a)x+1上的点的集合。又NM（即两直线平行时），故1-a=1，即a0。或当集知识改变命运百度提升自我用心爱心专心-4-合N表示的直线过这个点时，也符合NM，所以把点（１，－１）代入直线y=(1-a)x+1，解得a=3。故a=0或3。妙招：对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需转化为代数语言或几何语言，如果转化不等价，就会导致错误。解题时要注意条件的充分性、必要性和充要性。非常熟练三种语言的相互转化。细节６、理解符号的含义例9.如图所示，A、B是两个非空集合，定义BxAxxBA且|，则Ａ－（Ａ－Ｂ）是下图中的（）A.IB.IIC.IIID.IIIIII错解：因Ａ－（Ａ－Ｂ）表示属于Ｂ而不属于Ａ，应选C。错因分析：上述解法对新定义符号“－”的理解不当，致使Ａ－（Ａ－Ｂ）在迁移运用时出现错误。正解：Ａ－（Ａ－Ｂ）的正确理解应是属于Ａ而不属于集合Ａ－Ｂ，而A-B为图中的区域I，故Ａ－（Ａ－Ｂ）应为图中的区域II，应选B。妙招：集合中的符号语言极具抽象性，准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键。对于某些新定义的集合问题，需要准确把握即时定义，理解定义中新符号的含义，“以旧带新”实现问题的转化。以上就是学习集合必须注意的六个细节，把握住这些细节，就能跳出陷阱，做到高考“送分题，一分也不能少”。