2013年高中数学竞赛辅导试题二次函数

第一节二次函数一、二次函数的解析式:①一般式：f(x)=ax2+bx+c.②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k.③零点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2).(a≠0)二、二次函数的最值:当自变量的取值范围为闭区间[p,q]时，其最值在f(p)、f(q)、f(2ba)三者中取得，最值情况如下表：2ba∈[p,q]2ba[p,q]a0fmin=f(2ba)=244acbafmax=max{f(p),f(q)}fmin=min{f(p),f(q)}fmax=max{f(p),f(q)}a0fmax=f(2ba)=244acbafmin=min{f(p),f(q)}例1.当x为何值时，函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值。解：f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+…+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2…+an)x+(a12+a22+…+an2)∴当x=(a1+a2…+an)/n时，f(x)有最小值.例2.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根，x12+x22的最大值是____.解：由韦达定理得：x1＋x2=k-2，x1x2=k2+3k+5.∴x12+x22＝（x1＋x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.已知x1,x2是方程的两个实根，即方程有实数根，此时方程的判别式Δ≥0，即Δ＝(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16≥0解得：-4≤k≤43.∵k=-5[-4,43]，设f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f(43)=50918.∴当k=-4时，(x12+x22)max=18.例3.已知f(x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。解：f(x)=(x-1)2+1(1)当t+11即t0时，g(t)=f(t+1)=t2+1(2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g(t)=f(1)=1(3)当t1时，g(t)=f(t)=t2-2t+2综合（1）、（2）、（3）得：例4．（1）当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值；（2）当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。解：（1）由x2+2y2=1得y2=12(1-x2)，2x+3y2=2x+32(1-x2)=-32(x-23)2+136又1-x2=2y2≥0，∴x2≤1，－1≤x≤1.∴当x=23时，y=106，（2x+3y2）max=163；当x=-1时，y=0，（2x+3y2）min=－2(2)由3x2+2y2=6x，得y2=32x(2-x)，代入x2+y2=x2+32x(2-x)=-12(x-3)2+92又y2=32x(2-x)≥0，得0≤x≤2.当x=2，y=0时，（x2+y2）max=4；当x=0，y=0时，(x2+y2)min=0三、二次函数与二次方程设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f(x)的图象有下列两种情形当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜2ba＜β，f(α)＞0，f(β)＞0当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜2ba＜β，f(α)＜0，f(β)＜0两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜2ba＜β，af(α)＞0，af(β)＞0①2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形从四种情形得充要条件是：f(α)·f(β)＜0②3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形当x1＜x2＜α时的充要条件是Δ＞0，2ba＜α，af(α)＞0④当β＜x1＜x2时的充要条件是Δ＞0，2ba＞β，af(β)＞0⑤例5．如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，确定m的范围。解：令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一：则（1-m2）f(0)＜0,(1-m2)f(1)＜0；即1-m2＞0,(1-m2)(2m-m2)＜0解得：-1＜m＜0例6．当k为什么实数时，关于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根α和β分别满足0＜α＜1和1＜β＜2？解：设y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2，则因为a=7＞0，且方程f(x)=0有两实根α，β，所以它的图象是开口向上且与X轴相交于两点（α,0）、(β,0)的抛物线。由于0＜α＜1，1＜β＜2，可知在x＜α或x＞β时，f(x)取正值；在α＜x＜β时，f(x)取负值。于是，当x分列取0,1，2时，有：f(0)=k2-k-2＞0，f(1)=k2-2k-8＜0，f(2)=k2-3k＞0解这三个不等式组成的不等式组，可得-2＜k＜-1和3＜k＜4。练习:1.求所有的实数m，使得关于x的方程有且只有整数根.121121xmxx2.若函数在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求区间[a，b]。3.已知方程x2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则p的取值为_________.四．二次函数与二次不等式一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立，经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与x轴的位置关系等。例7．若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，求证：（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)证明：构造二次函数f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(anx-bn)2=(a12+a22+…+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+b2n).当a12+a22+…+a2n≠0即a1,a2,…,an不全为零时，显然有对x∈R，f(x)≥0，故f(x)＝0的判别式：Δ=4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)≤0.即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n)。当a1=a2=…=an=0时，结论显然成立，故命题成立。例8．设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0＜x1＜x2＜1a。（1）当x∈(0,x1)时，证明x＜f(x)＜x1（2）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x0＜12x。证明：⑴欲证：x＜f(x)＜x,只须证：0＜f(x)-x＜x1-x①21321)(2xxf因为方程f(x)-x=0的两根为x1,x2,f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),①式即:0＜a(x-x1)(x-x2)＜x1-x②∵a＞0，x∈(0,x1),x1-x＞0,∴a(x1-x)＞0,②式两边同除以a(x1-x)＞0，得：0＜x2-x＜1a，即：x＜x2＜1a+x.这由已知条件：0＜x＜x1＜x2＜1a，即得：x＜x2＜1a＜1a+x，故命题得证。（2）欲证x0＜12x，因为x0=2ba，故只须证：x0-12x=2ba-12x＜0③由韦达定理，x1+x2=1ba，122xx=12ba，代入③式有2ba-12x=22x-12a＜0,即：x2＜1a由已知：0＜x1＜x2＜1a，命题得证。证明:⑴.令F(x)＝f(x)－x.，因为x1、x2是方程f(x)－x＝0的根，得F(x)＝a(x－x1)(x－x2)，当x∈(0，x1)时，由于x1＜x2，x－x1＜0，x－x2＜0，得(x－x1)(x－x2)＞0，又a＞0，得F(x)＝a(x－x1)(x－x2)＞0即x＜f(x).而x1－f(x)＝x1－[x－F(x)]＝x1－x＋a(x－x1)(x－x2)＝(x1－x)[1－a(x－x2)]因为0＜x＜x1＜x2＜a1所以x1－x＞0，1－a(x－x2)＞1－a·a1＞0得x1－f(x)＞0，即f(x)＜x1.⑵.依题意知x0＝－2ab.因为x1，x2是方程f(x)－x＝0的根，即x1，x2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的根，所以x1＋x2＝－a1bx0＝－2a1axax2a1)xa(x2ab2121因为ax2＜1，所以x0＜2x2aax11例9已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围命题意图本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力知识依托解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合错解分析由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”技巧与方法利用方程思想巧妙转化(1)证明由bxycbxaxy2消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+43)22cc2］∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0∴43c20,∴Δ0,即两函数的图象交于不同的两点(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－ab2,x1x2=ac|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x22222224444()4()bcbacacacaaaa22134[()1]4[()]24cccaaa新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]