2013年高考数学必考知识点7三角恒等变换与解三角形

2013年高考数学必考知识点7三角恒等变换与解三角形1．(2012·全国)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝()．A．－53B．－59C.59D.53答案：A[将sinα＋cosα＝33两边平方，可得1＋sin2α＝13，sin2α＝－23，所以(－sinα＋cosα)2＝1－sin2α＝53，因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以－sinα＋cosα＝－153，所以cos2α＝(－sinα＋cosα)(cosα＋sinα)＝－53，选A.]2．(2012·江西)若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ＝()．A.15B.14C.13D.12答案：D[∵tanθ＋1tanθ＝1＋tan2θtanθ＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝2sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝2tanθ1＋tan2θ＝2tanθ4tanθ＝12.]3．(2012·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()．A.725B．－725C．±725D.2425答案：A[因为8b＝5c，则由C＝2B，得sinC＝sin2B＝2sinBcosB，由正弦定理得cosB＝sinC2sinB＝c2b＝45，所以cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝2×452－1＝725，故选A.]4．(2012·北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－14，则b＝________.解析由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×－14，解得b＝4.答案4[来源:Z&xx&k.Com]1．对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点．2．对于解三角形，重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用，通过三角形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学生分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力.1．在三角恒等变换过程中，准确地记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键．2．在解三角形的试题时，要弄清楚三角形三边、三角中已知什么，求什么，这些都是解决问题的思维基础，分析题设条件，利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决问题的关键.必备知识两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.(4)降幂公式：sin2α＝1－cos2α2，cos2α＝1＋cos2α2.正弦定理及其变形asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.余弦定理及其推论a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.必备方法1．“变角”是三角变换的灵魂，因此要注意分析条件与所求之间角的联系，常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系．如2β与β是倍角关系．此外，根据条件与所求中的角的特点，常要对角进行恰当的配凑，如：β＝(α＋β)－α，α＋β2＝α－β2－α2－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．2．要充分把握三角函数的变换规律．三角变换时，需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技巧，追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一，其中角的变换是三角变换的核心．3．在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．4．解三角形的应用问题时，要将条件和求解目标转化到一个三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同时注意所求结果要满足实际问题的要求，还要注意对不同概念的角的正确理解与应用，如俯角、仰角、方位角、视角等.利用三角恒等变换进行三角函数的化简、求值三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，常考查：①三角恒等变换在化简、求值等方面的简单应用；②三角恒等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问题，多以解答题形式出现，难度中档．[来源:学科网ZXXK]【例1】►(2012·广东)已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f5α＋53π＝－65，f5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．[审题视点][听课记录][审题视点](1)由T＝10π可得ω的值；(2)化简所给的已知条件，求得cosα、sinβ的值，将cos(α＋β)展开，代入数据即可．解(1)∵f(x)＝2cosωx＋π6，ω＞0的最小正周期T＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)知f(x)＝2cos15x＋π6，而α，β∈0，π2，f5α＋5π3＝－65，f(5β－5π6)＝1617，∴2cos155α＋5π3＋π6＝－65，2cos155β－5π6＋π6＝1617，即cosα＋π2＝－35，cosβ＝817，于是sinα＝35，cosα＝45，sinβ＝1517，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×817－35×1517＝－1385.(1)给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．(3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等．【突破训练1】已知cosx－π4＝210，x∈π2，3π4.(1)求sinx的值；(2)求sin2x＋π3的值．解(1)因为x∈π2，3π4，所以x－π4∈π4，π2，于是sinx－π4＝1－cos2x－π4＝7210.sinx＝sinx－π4＋π4＝sinx－π4cosπ4＋cosx－π4sinπ4＝7210×22＋210×22＝45.(2)因为x∈π2，3π4，所以cosx＝－1－sin2x＝－1－452＝－35.sin2x＝2sinxcosx＝－2425，cos2x＝2cos2x－1＝－725.所以sin2x＋π3＝sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3＝－24＋7350.三角函数与解三角形以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一个热点问题．根据所给式子、三角形的特点合理选择正弦或余弦定理是解题的关键，综合考查学生逻辑分析和计算推理能力．【例2】►(2011·山东)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，b＝2，求△ABC的面积S.[审题视点][听课记录][审题视点](1)根据所给式子和第(1)问式子的特征，采用边化角较为简单；(2)借用第(1)问的结果可知a、c间的关系，再结合cosΒ＝14，b＝2，利用余弦定理可求解．解(1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB.即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以原等式可化为sinC＝2sinA，因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2，得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝14，得4＝a2＋4a2－4a2×14，解得a＝1，从而c＝2.又因为cosB＝14，且0＜B＜π，所以sinB＝154.因此S＝12acsinB＝12×1×2×154＝154.在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．【突破训练2】(2012·江西)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝π4，bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a.(1)求证：B－C＝π2；(2)若a＝2，求△ABC的面积．(1)证明由bsinπ4＋C－csinπ4＋B＝a，应用正弦定理，得sinBsinπ4＋C－sinCsinπ4＋B＝sinA，sinB22sinC＋22cosC－sinC22sinB＋22cosB＝22，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，[来源:学*科*网Z*X*X*K]即sin(B－C)＝1，由于0＜B，C＜34π，从而B－C＝π2.(2)解B＋C＝π－A＝3π4，因此B＝5π8，C＝π8.由a＝2，A＝π4，得b＝asinBsinA＝2sin5π8，c＝asinCsinA＝2sinπ8，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝2sin5π8sinπ8＝2cosπ8·sinπ8＝12.易错点拨第(2)问考生往往在遇到非特殊角的情况下思维受阻，导致丢分，遇到这种情况时要学会分析推测或用转化法使解题进行下去．向量与解三角形的综合考查解三角形问题常以向量为载体，解题时通常先利用向量知识将有关向量关系式转化为三角形中的边角关系，然后再借助解三角形的知识求解，难度中档偏低．【例3】►在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，A＝π6，(1＋3)c＝2b.(1)求角C；(2)若CB→·CA→＝1＋3，求a，b，c.[审题视点][听课记录][审题视点](1)由(1＋3)c＝2b及A＝π6可利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；(2)将向量关系式CB→·CA→＝1＋3转化为三角形中的边角关系，再利用解三角形的知识求解．解(1)由(1＋3)c＝2b，得bc＝12＋32＝sinBsinC，则有sinπ－π6－CsinC＝sin5π6cosC－cos5π6sinCsinC＝12tanC＋32＝12＋32，得tanC＝1，即C＝π4.(2)由CB→·CA→＝1＋3，推出abcosC＝1＋3.而C＝π4，即得22ab＝1＋3，则有22ab＝1＋3，＋3c＝2b，asinA＝csinC，解得a＝2，b＝1＋3，c＝2.解答这一类问题，首先要保证向量运算必须正确，否则，反被其累，要很好的掌握正、余弦定理的应用条件及灵活变形，方能使问题简捷解答．【突破训练3】在△ABC中，已知2AB→·AC→＝3|AB→|·|AC→|＝3BC→2，求角A，B，C