2013年高考数学总复习11-4数学归纳法(理)新人教B版

2013年高考数学总复习11-4数学归纳法(理)新人教B版1.(2011·威海模拟)在用数学归纳法证明“2nn2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于()A．1B．3C．5D．7[答案]C[解析]n的取值与2n，n2的取值如下表：n123456…2n248163264…n2149162536…由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n4时恒有2nn2.2．(2011·厦门月考、日照模拟)用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“n＝k到n＝k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1[答案]B[解析]n＝k时，左端为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；n＝k＋1时，左端为[(k＋1)＋1]·[(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(k＋k＋1)·(k＋k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)，故左端增加了2(2k＋1)．3．若f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋16n－1(n∈N＋)，则f(1)为()A．1B.15C．1＋12＋13＋14＋15D．非以上答案[答案]C[解析]注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n－1的自然数，故f(1)＝1＋12＋13＋14＋15.4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，则可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立[答案]C[解析]∵“若n＝k(k∈N*)时命题成立，则当n＝k＋1时，该命题也成立”，故若n＝4时命题成立，则n＝5时命题也应成立，现已知n＝5时，命题不成立，故n＝4时，命题也不成立．[点评]可用逆否法判断．5．观察下式：1＋3＝221＋3＋5＝321＋3＋5＋7＝421＋3＋5＋7＋9＝52……据此你可归纳猜想出的一般结论为()A．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)B．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈N*)C．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈N*)D．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈N*)[答案]D[解析]观察可见第n行左边有n＋1个奇数，右边是(n＋1)2，故选D.6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形()A．(8n－1)个B．(8n＋1)个C.17(8n－1)个D.17(8n＋1)个[答案]C[解析]第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝8n－17个．7．(2011·徐州模拟)用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．[答案]n＝2k＋18．(2010·吉林市检测、浙江金华十校联考)观察下列式子：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，……，则可以猜想：当n≥2时，有__________________．[答案]1＋122＋132＋…＋1n22n－1n(n≥2)[解析]观察式子左边都是自然数的平方的倒数求和，右边分母为左边的项数，分子为项数的2倍减1，故右边表达式为2n－1n.9．已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线段An－2An－1的中点，…，(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．[解析](1)当n≥3时，xn＝xn－1＋xn－22.(2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝x2＋x12－x2＝－12(x2－x1)＝－12a，a3＝x4－x3＝x3＋x22－x3＝－12(x3－x2)＝14a，由此推测an＝(－12)n－1a(n∈N*)．证法1：因为a1＝a0，且an＝xn＋1－xn＝xn＋xn－12－xn＝xn－1－xn2＝－12(xn－xn－1)＝－12an－1(n≥2)，所以an＝(－12)n－1a.证法2：用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，a1＝x2－x1＝a＝(－12)0a，公式成立．(2)假设当n＝k时，公式成立，即ak＝(－12)k－1a成立．那么当n＝k＋1时，ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝xk＋1＋xk2－xk＋1＝－12(xk＋1－xk)＝－12ak＝－12(－12)k－1a＝(－12)(k＋1)－1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意n∈N*，公式an＝(－12)n－1a成立．10．已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有a2n≤an－an＋1成立．(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；(2)探究an与1n的大小，并证明你的结论．[解析](1)由a2n≤an－an＋1得an＋1≤an－a2n.∵在数列{an}中an0，∴an＋10，∴an－a2n0，∴0an1，故数列{an}中的任何一项都小于1.(2)解法1：由(1)知0an1＝11，那么a2≤a1－a21＝－a1－122＋14≤1412，由此猜想：an1n.下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N时猜想正确．①当n＝2时，显然成立；②假设当n＝k(k≥2，k∈N)时，有ak1k≤12成立．那么ak＋1≤ak－a2k＝－ak－122＋14－1k－122＋14＝1k－1k2＝k－1k2k－1k2－1＝1k＋1，∴当n＝k＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n∈N*，都有an1n.解法2：由a2n≤an－an＋1，得0ak＋1≤ak－a2k＝ak(1－ak)，∵0ak1，∴1ak＋1≥1ak－ak＝1ak＋11－ak，∴1ak＋1－1ak≥11－ak1.令k＝1,2,3，…，n－1得：1a2－1a11，1a3－1a21，…，1an－1an－11，∴1an1a1＋n－1n，∴an1n.11.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边的项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3[答案]C[解析]左边项的指数规律是从第2项起指数为正整数列，故n＝1时，应为1＋a＋a2.12．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.[答案]π[解析]将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak连接，则原k＋1边形分为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，显见有f(k＋1)＝f(k)＋π.13．(2010·南京调研)已知：(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，n∈N*)．(1)当n＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值．(2)设bn＝a22n－3，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当n≥2时，Tn＝nn＋n－3.[解析](1)当n＝5时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5令x＝2得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243.(2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以a2＝C2n·2n－2bn＝a22n－3＝2C2n＝n(n－1)(n≥2)①当n＝2时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝＋－3＝2，左边＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即Tk＝kk＋k－3成立那么，当n＝k＋1时，左边＝Tk＋bk＋1＝kk＋k－3＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝kk＋k－3＋k(k＋1)＝k(k＋1)k－13＋1＝kk＋k＋3＝k＋k＋＋k＋－1]3＝右边．故当n＝k＋1时，等式成立．综上①②，当n≥2时，Tn＝nn＋n－3.14．已知f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn(n为正偶数)且{an}为等差数列，f(1)＝n2，f(－1)＝n，试比较f12与3的大小，并证明你的结论．[解析]由f(1)＝n2，f(－1)＝n得，a1＝1，d＝2.∴f12＝12＋3122＋5123＋…＋(2n－1)·12n，两边同乘以12得，12f12＝122＋3123＋…＋(2n－3)12n＋(2n－1)12n＋1，两式相减得，12f12＝12＋2122＋2123＋…＋212n－(2n－1)12n＋1＝12＋121－12n－11－12－(2n－1)12n＋1.∴f12＝3－2n＋32n3.15．证明：当n∈N*时，1＋12＋13＋…＋1nln(n＋1)．[证明](1)当n＝1时，由于ln2lne＝1，故不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立．则1＋12＋13＋…＋1kln(1＋k)．则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋11k＋1＋ln(k＋1)．要证不等式成立，只需证明ln(k＋2)1k＋1＋ln(k＋1)成立．要证明此不等式成立只需证明1k＋1ln(k＋2k＋1)＝ln(1＋1k＋1)．下面构造函数f(x)＝ln(1＋x)－x(x0)．∵f′(x)＝11＋x－1＝－x1＋x0，∴f(x)＝ln(1＋x)－x在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)f(0)，即ln(1＋x)x.令x＝1k＋1得ln(1＋1k＋1)11＋k.即不等式ln(k＋2)1k＋1＋ln(1＋k)成立，所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1ln(k＋2)成立．由(1)、(2)可知对n∈N*，不等式1＋12＋13＋…＋1nln(n＋1)成立．[点评]利用数学归纳法证明涉及与指数式、对数式有关的不等式时，在由n＝k证明n＝k＋1时，可以通过构造函数，利用函数的单调性得到需要证明的不等式，这是近年来函数、不等式、数学归纳法结合在一起综合考查的热点问题，要加深对此法的理解与应用．1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，第四个图有37个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(6)＝()A．53B．73C．91D．97[答案]B[解析]f(1)＝1×6－6＋1；f(2)＝2×6－6＋f(1)；f(3)＝3×6－6＋f(2)；f(4)＝4×6－6＋f(3)；…f(n)＝n×6－6＋f(n－1)．以上各式相加得f(n)＝(1＋2＋3＋…＋n)×6－6n＋1＝3n2－3n＋1，∴f(6)＝3×62－3×6＋1＝73.2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]因为凸n边形的边数最少为3，故验证的第一个值n0＝3.3．(2010·辽宁沈阳质检)用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n－112764(n∈N*)成立，其初始值至少应取()A．7B．8C．9D．10[答案]B[解析]等式左端＝1＋12＋14＋…＋12n－1＝1－12n1－12＝2－12n－1，将选项中的值代入验证可知n的最小值为8.4．设f(x)是定