2013年高考数学总复习3-2利用导数研究函数的性质但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习3-2利用导数研究函数的性质但因为测试新人教B版1.(文)(2011·宿州模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)1，则f(x)x的解集是()A．(0,1)B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]C[解析]令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－10，所以F(x)是增函数，∵f(x)x，∴F(x)0，∵F(1)＝f(1)－1＝0，∴F(x)F(1)，∵F(x)是增函数，∴x1，即f(x)x的解集是(1，＋∞)．(理)(2011·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)[答案]B[解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则φ′(x)＝f′(x)－20.∴φ(x)在R上是增函数．又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，∴当x－1时，φ(x)φ(－1)＝0，∴f(x)－2x－40，∴f(x)2x＋4.故选B.2．(2010·宁夏石嘴山一模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是()A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16[答案]A[解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.3．(文)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427，0B．0，427C．－427，0D．0，－427[答案]A[解析]f′(x)＝3x2－2px－q由f′(1)＝0，f(1)＝0得3－2p－q＝01－p－q＝0解得p＝2q＝－1，∴f(x)＝x3－2x2＋x由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝13或x＝1易得当x＝13时f(x)取极大值427当x＝1时f(x)取极小值0.(理)设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a、b、c的值为()A．a＝－12，b＝0，c＝－32B．a＝12，b＝0，c＝－32C．a＝－12，b＝0，c＝32D．a＝12，b＝0，c＝32[答案]C[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以由题意得f＝0，f－＝0.f－＝－1，即3a＋2b＋c＝0，3a－2b＋c＝0，－a＋b－c＝－1，解得a＝－12，b＝0，c＝32.4．(2011·青岛模拟)已知函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为()A．－1B．0C．1D．±1[答案]B[解析]由导函数与原函数的关系知，f(x)＝x4－2x2＋a(a为常数)，∵f(0)＝－5，∴a＝－5，∴f(x)＝x4－2x2－5，令f′(x)＝4x3－4x＝0得，x1＝1，x2＝0，x3＝1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)0，当x∈(－1,0)时，f′(x)0，当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，－1)和(0,1)上单调递减，在(－1,0)上和(1，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝0处取得极大值5，故选B.5．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3k－1或1k3C．－2k2D．不存在这样的实数[答案]B[解析]因为y′＝3x2－12，由y′0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1－2k＋1或k－12k＋1，解得－3k－1或1k3，故选B.6．(2011·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝ax2－1的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线8x－y＋2＝0平行，若数列1fn的前n项和为Sn，则S2010的值为()A.20102011B.10052011C.40204021D.20104021[答案]D[解析]∵f′(x)＝2ax，∴f(x)在点A处的切线斜率为f′(1)＝2a，由条件知2a＝8，∴a＝4，∴f(x)＝4x2－1，∴1fn＝14n2－1＝12n－1·12n＋1＝1212n－1－12n＋1∴数列1fn的前n项和Sn＝1f＋1f＋…＋1fn＝121－13＋1213－15＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1，∴S2010＝20104021.7．(文)(2011·福州模拟)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．[答案]－37[解析]f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x0或x2时，f′(x)0，当0x2时，f′(x)0，∴f(x)在[－2,0]上单调增，在[0,2]上单调减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.(理)(2011·惠州三模)已知函数f(x)＝1－xax＋lnx，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围为________．[答案][1，＋∞)[解析]∵f(x)＝1－xax＋lnx，∴f′(x)＝ax－1ax2(a0)，∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)＝ax－1ax2≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≥1x对x∈[1，＋∞)恒成立，∴a≥1.8．(文)(2010·浙江杭州冲刺卷)函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)在(a，b)上的图象如图，则y＝f(x)在区间(a，b)上极大值的个数为________．[答案]2[解析]由f′(x)在(a，b)上的图象可知f′(x)的值在(a，b)上，依次为＋－＋－＋，∴f(x)在(a，b)上的单调性依次为增、减、增、减、增，从而f(x)在(a，b)上的极大值点有两个．[点评]应注意题设中给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，在f′(x)的图象上，位于x轴上方部分使f′(x)0，f(x)单调增，位于x轴下方部分，使f′(x)0，f(x)单调减，f(x)的极值点是f′(x)的图象与x轴的交点，千万要注意，不要把f′(x)的单调性误以为是f(x)的单调性．请再练习下题：(2011·绵阳模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，给出下面四个判断．①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；④x＝2是f(x)的极小值点．其中，所有正确判断的序号是________．[答案]②③[解析]由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．(理)(2010·绵阳市诊断)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0平行，则实数a的值为________．[答案]1[解析]∵f′(x)＝11＋x－a，∴f′(1)＝12－a.由题知12－a＝－12，解得a＝1.[点评]函数f(x)在点x处切线l的斜率为f′(x0)，若l与l1平行(或垂直)，则f′(x0)＝kl1(或f′(x0)·kl1＝－1)．请再练习下题：(2010·广东实华梧州联考)已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．[答案]0或－23[解析]由条件知，2x0＝－3x20，∴x0＝0或－23.9．设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．[答案]34，3[解析]设P(a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈[－1,3]，∴0≤a≤2.∴a2－a＋1＝a－122＋34，当a＝12时，取最小值34，当a＝2时，取最大值3，故P点纵坐标范围是34，3.10．(2011·北京东城一模)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′(23)．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．(3)(理)设函数g(x)＝[f(x)－x3]·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．[解析](1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c得，f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝23时，得a＝f′(23)＝3×(23)2＋2a×(23)－1＝43a＋13，解之得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x＋13)(x－1)，列表如下：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗有极大值↘有极小值↗所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是(－13，1)．(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数在区间x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞).11.若a2，则函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有()A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点[答案]B[解析]f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)＝0⇒x1＝0，x2＝2a4.易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)＝10，f(2)＝113－4a0，由零点判定定理知，函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有一个零点．12．(2011·南开区质检)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A．2B．1C．－1D．－2[答案]A[解析]∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，∴b＝1c＝2或b＝－1c＝－2，∴ad＝2.13．(文)(2011·安庆质检)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．[答案]－13[解析]求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.(理)(2011·山东潍坊一模)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是()A．[－32，3]B．[32，6]