2013年高考数学总复习4-2同角三角函数的基本关系及诱但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习4-2同角三角函数的基本关系及诱但因为测试新人教B版1.(2010·青岛市质检)已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为()A．－12B．－32C.12D.32[答案]A[解析]由条件知，π＝a1＋a5＋a9＝3a5，∴a5＝π3，∴cos(a2＋a8)＝cos2a5＝cos2π3＝－cosπ3＝－12，故选A.2．(文)(2011·山东淄博一模)已知sin2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sinα＋cosα＝()A．－15B.15C．－75D.75[答案]B[解析](sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝125，又α∈(－π4，0)，sinα＋cosα0，所以sinα＋cosα＝15.(理)(2011·河北石家庄一模)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝22，则sinα－cosα的值为()A．－2B．－62C.2D.62[答案]D[解析]∵sinα＋cosα＝22，0221,0απ，∴π2απ，∴sinα－cosα0.∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝12，∴2sinαcosα＝－12；∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝32，∴sinα－cosα＝62.3．(文)(2011·杭州二检)若a＝(32，sinα)，b＝(cosα，13)，且a∥b，则锐角α＝()A．15°B．30°C．45°D．60°[答案]C[解析]依题意得32×13－sinαcosα＝0，即sin2α＝1.又α为锐角，故2α＝90°，α＝45°，选C.(理)已知向量a＝(tanα，1)，b＝(3，－1)，α∈(π，2π)且a∥b，则点Pcosπ2＋α，－α在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]∵a∥b，∴tanα＝－3，∵α∈(π，2π)，∴α＝5π3，∴cosπ2＋α＝cos13π6＝cosπ60，sin(π－α)＝sin－2π3＝－sin2π30，∴点P在第四象限．4．(2011·绵阳二诊、长春模拟)已知tanθ1，且sinθ＋cosθ0，则cosθ的取值范围是()A．(－22，0)B．(－1，－22)C．(0，22)D．(22，1)[答案]A[解析]如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2kπ＋5π4θ2kπ＋3π2，k∈Z，因此－22cosθ0.选A.5．(2010·河南南阳调研)在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于()A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°[答案]A[解析]两式平方后相加得sin(A＋B)＝12，∴A＋B＝30°或150°，又∵3sinA＝6－4cosB2，∴sinA2312，∴A30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.6．(文)(2011·湖北联考)已知tanx＝sin(x＋π2)，则sinx＝()A.－1±52B.3＋12C.5－12D.3－12[答案]C[解析]∵tanx＝sin(x＋π2)，∴tanx＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝－1±52，∵－1≤sinx≤1，∴sinx＝5－12.故选C.(理)(2011·重庆诊断)已知2tanα·sinα＝3，－π2α0，则cosα－π6的值是()A．0B.32C．1D.12[答案]A[解析]∵2tanαsinα＝3，∴2sin2αcosα＝3，即－cos2αcosα＝3，∴2cos2α＋3cosα－2＝0，∵|cosα|≤1，∴cosα＝12，∵－π2α0，∴sinα＝－32，∴cosα－π6＝cosαcosπ6＋sinαsinπ6＝12×32－32×12＝0.7．(文)(2011·山东烟台模拟)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tanα＝________.[答案]－33[解析]由已知得sinα＝－12，又α∈(－π2，0)，所以cosα＝1－sin2α＝32，因此tanα＝sinαcosα＝－33.(理)(2011·盐城模拟)已知cos(5π12＋α)＝13，且－πα－π2，则cos(π12－α)＝________.[答案]－223[解析]∵－πα－π2，∴－7π125π12＋α－π12，∵cos(5π12＋α)＝13，∴sin(5π12＋α)＝－223，∴cos(π12－α)＝cos[π2－(5π12＋α)]＝sin(5π12＋α)＝－223.8．设a＝12cos16°－32sin16°，b＝2tan14°1＋tan214°，c＝1－cos50°2，则a、b、c的大小关系为________(从小到大排列)．[答案]acb[解析]a＝sin14°，b＝2sin14°cos14°cos214°＋sin214°＝sin28°，c＝sin25°，∵y＝sinx在(0°，90°)上单调递增，∴acb.9．(2011·江西上饶四校联考)对任意的a∈(－∞，0)，总存在x0使得acosx0＋a≥0成立，则sin(2x0－π6)的值为________．[答案]－12[解析]若对任意的a∈(－∞，0)，总存在x0使得acosx0＋a≥0成立，则cosx0＋1≤0，又cosx0＋1≥0，所以cosx0＋1＝0，所以cosx0＝－1，则x0＝2kπ＋π(k∈Z)，所以sin(2x0－π6)＝sin(4kπ＋2π－π6)＝sin(－π6)＝－sinπ6＝－12.10．(文)已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求证：cos2α＝38.[解析]由题设知，sin2α＝4sin2β，①tan2α＝9tan2β，②①②，得9cos2α＝4cos2β，③①＋③，得sin2α＋9cos2α＝4，即1－cos2α＋9cos2α＝4，∴cos2α＝38.(理)(2010·南充市)已知三点：A(4,0)，B(0,4)，C(3cosα，3sinα)．(1)若α∈(－π，0)，且|AC→|＝|BC→|，求角α的值；(2)若AC→·BC→＝0，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值．[解析](1)由题得AC→＝(3cosα－4,3sinα)，BC→＝(3cosα，3sinα－4)由|AC→|＝|BC→|得，(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4)2⇒sinα＝cosα∵α∈(－π，0)，∴α＝－3π4.(2)由AC→·BC→＝0得，3cosα(3cosα－4)＋3sinα(3sinα－4)＝0，解得sinα＋cosα＝34，两边平方得2sinαcosα＝－716∴2sin2α＋sin2α1＋tanα＝2sin2α＋2sinαcosα1＋sinαcosα＝2sinαcosα＝－716.11.若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]B[解析]∵A、B是锐角三角形的两个内角，∴A＋B90°，∴B90°－A，∴cosBsinA，sinBcosA，故cosB－sinA0，sinB－cosA0，选B.12．(2010·安徽铜陵一中)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝73，则△ABC的面积为()A.74B.54C.72D.52[答案]A[解析]∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，∵tanB＝73，∴sinB＝74，cosB＝34，∵a＋c＝3，b2＝a2＋c2－2accosB，∴ac＝2，∴S△ABC＝12acsinB＝74.13．(文)(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联考)已知cosα＝45，α∈(－π4，0)，则sinα＋cosα等于()A.15B．－15C．－75D.75[答案]A[解析]由于cosα＝45，α∈(－π4，0)，所以sinα＝－35，所以sinα＋cosα＝15，故选A.(理)已知函数f(x)＝sinx－cosx且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则1＋sin2xcos2x－sin2x＝()A．－195B.195C.113D．－113[答案]A[解析]f′(x)＝cosx＋sinx，∵f′(x)＝2f(x)，∴cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，∴tanx＝3，∴1＋sin2xcos2x－sin2x＝1＋sin2xcos2x－2sinxcosx＝2sin2x＋cos2xcos2x－2sinxcosx＝2tan2x＋11－2tanx＝－195.14．已知函数f(x)＝2cosπ3xx≤2000x－102x2000，则f[f(2012)]＝________.[答案]－1[解析]由f(x)＝2cosπ3xx≤2000x－102x2000得，f(2012)＝2012－102＝1910，f(1910)＝2cosπ3×1910＝2cos(636π＋2π3)＝2cos2π3＝－1，故f[f(2012)]＝－1.15．已知sin(A＋π4)＝7210，A∈(π4，π2)，求cosA.[解析]解法一：∵π4Aπ2，∴π2A＋π43π4，∵sin(A＋π4)＝7210，∴cos(A＋π4)＝－1－sin2A＋π4＝－210.∴cosA＝cos[(A＋π4)－π4]＝cos(A＋π4)cosπ4＋sin(A＋π4)sinπ4＝－210×22＋7210×22＝35.解法二：∵sin(A＋π4)＝7210，∴sinA＋cosA＝75，∴sinA＝75－cosA，代入sin2A＋cos2A＝1中得2cos2A－145cosA＋4925＝1，∵π4Aπ2，∴0cosA22，∴cosA＝35.16.(2011·潍坊质检)如图，以Ox为始边作角α与β(0βαπ)，它们终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为－35，45.(1)求sin2α＋cos2α＋11＋tanα的值；(2)若OP→·OQ→＝0，求sin(α＋β)．[解析](1)由三角函数定义得cosα＝－35，sinα＝45，∴原式＝2sinαcosα＋2cos2α1＋sinαcosα＝2cosαα＋cosαsinα＋cosαcosα＝2cos2α＝2·－352＝1825.(2)∵OP→·OQ→＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sinβ＝sin(α－π2)＝－cosα＝35，cosβ＝cosα－π2＝sinα＝45.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝45·45＋－35·35＝725.1．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋α)，其中a，b，α∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2011)＝5，则f(2012)等于()A．4B．3C．－5D．5[答案]C[解析]∵f(2011)＝asin(2011π＋α)＋bcos(2011π＋α)＝－asinα－bcosα＝5，∴asinα＋bcosα＝－5.∴f(2012)＝asinα＋bcosα＝－5.2．(2010·全国卷Ⅰ理，2)设cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k2[答案]B[解析]sin80°＝1－cos280°＝1－cos2－＝1－k2，所以tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k2k.3．(2010·山东济南模考、烟台市诊断)已知△ABC中，tanA＝－512，则cosA＝()A.1213B.513C．－513D．－1213[答案]D[解析]在△ABC中，由tanA＝－5120知，∠A为钝角，所以cosA0,1＋tan2A＝sin2A＋cos2Acos2A＝1cos2A＝169144，所以cosA＝－1