2013年高考数学总复习8-2圆的方程新人教B版

2013年高考数学总复习8-2圆的方程新人教B版1.(文)(2011·四川文，3)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)[答案]D[解析]将一般式化为标准式(x－2)2＋(y＋3)2＝13.∴圆心坐标为(2，－3)．(理)(2011·深圳调研)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为()A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)[答案]D[解析]将⊙C化为标准方程得，(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，∴圆心C(－a,2a)，半径r＝2，由条件知，|－a|2，|2a|2，－a0，2a0，∴a2.2．(文)(2011·广东文，8)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆[答案]A[解析]动圆圆心C到定点(0,3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.(理)(2011·广州模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(x＋32)2＋y2＝12[答案]C[解析]设中点M(x，y)，则点A(2x－3,2y)，∵A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1，故选C.3．(文)(2011·广州检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1[答案]A[解析]设圆心坐标为(0，b)，则由题意知－2＋－2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(理)(2011·济南调研)已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0[答案]A[解析]设圆心为C(m,0)(m0)，因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以|3m＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得：|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选A.4．(文)(2011·青岛市教学质量统一检测)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．2B．1＋2C．2＋22D．1＋22[答案]B[解析]圆的方程化为标准形式：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线x－y－2＝0的距离d＝|1－1－2|2＝2，所求距离的最大值为2＋1，故选B.(理)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线3x＋4y＋5＝0的距离最大值是a，最小值是b，则a＋b＝()A.125B.245C.65D．5[答案]B[解析]圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋5＝0距离d＝125，∴a＋b＝125＋r＋125－r＝245(r为圆的半径)．5．(2011·江南十校联考)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0[答案]D[解析]圆心C(3,0)，kCP＝－12，由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，所以MN所在直线方程是2x－y－1＝0，故选D.6．(文)(2011·日照模拟、河南省濮阳调研)圆心在曲线y＝3x(x0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－3)2＝(185)2B．(x－3)2＋(y－1)2＝(165)2C．(x－2)2＋(y－32)2＝9D．(x－3)2＋(y－3)2＝9[答案]C[解析]设圆心坐标为(a，3a)(a0)，则圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝|3a＋12a＋3|5＝35(a＋4a＋1)≥35(4＋1)＝3，等号当且仅当a＝2时成立．此时圆心坐标为(2，32)，半径为3，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－32)2＝9.(理)(2011·西安模拟)若直线ax＋2by－2＝0(a0，b0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为()A．1B．5C．42D．3＋22[答案]D[解析]由条件知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴a＋b＝1，∴1a＋2b＝(1a＋2b)(a＋b)＝3＋ba＋2ab≥3＋22，等号在ba＝2ab，即b＝2－2，a＝2－1时成立．7．(2011·西安二检)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．[答案]254[解析]∵点A(1,2)在⊙O：x2＋y2＝5上，∴过A的切线方程为x＋2y＝5，令x＝0得，y＝52，令y＝0得，x＝5，∴三角形面积为S＝12×52×5＝254.8．(2011·南京模拟)已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．[答案]x＋y－1＝0[解析]过点M的最短的弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.9．(文)(2010·广东)已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．[答案](x＋2)2＋y2＝2[解析]设圆的方程为(x－a)2＋y2＝2(a0)，由条件得2＝|a|2，∴|a|＝2，又a0，∴a＝－2.(理)(2011·长春市调研)若圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交所得的弦长为22，则圆的方程是________．[答案](x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244[解析]设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，根据题意可得a＋2b＝0，－2＋－2＝r2，r2－a－b＋122＝2.解得a＝6，b＝－3，r2＝52.或a＝14，b＝－7，r2＝244.所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.10．(文)(2010·广东华南师大附中)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求：(1)过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.[解析](1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，由直线与圆相切得，|－k＋2|k2＋1＝1，∴k＝34.∴直线方程为x＝3或y＝34x＋114.(2)|AO|＝9＋25＝34，直线OA：5x－3y＝0，点C到直线OA的距离d＝134，S＝12·d·|AO|＝12.(理)(2011·兰州一诊)已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．[解析](1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)．根据题意，得－2＋－1－2＝r2－1－2＋－2＝r2a＋b－2＝0，解得a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝12|AM|·|PA|＋12|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4，即S＝2|PM|2－4.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2|PM|2－4＝232－4＝25.11.(2011·西安模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．406[答案]B[解析]圆的方程：(x－3)2＋(y－4)2＝25，∴半径r＝5，圆心到最短弦BD的距离d＝1，∴最短弦长|BD|＝46，又最长弦长|AC|＝2r＝10，∴四边形的面积S＝12×|AC|×|BD|＝206.12．(2011·成都龙泉第一中学模拟)以抛物线y2＝20x的焦点为圆心，且与双曲线x216－y29＝1的两渐近线都相切的圆的方程为()A．x2＋y2－20x＋64＝0B．x2＋y2－20x＋36＝0C．x2＋y2－10x＋16＝0D．x2＋y2－10x＋9＝0[答案]C[解析]抛物线的焦点坐标是(5,0)，双曲线的渐近线方程是3x±4y＝0，点(5,0)到直线3x±4y＝0的距离d＝3即为所求圆的半径．故所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝9，即x2＋y2－10x＋16＝0，故选C.13．(2010·浙江杭州市质检)已知A、B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝9[解析]∵M是以AB为直径的圆的圆心，|AB|＝6，∴半径为3，又⊙M经过点C，∴|CM|＝12|AB|＝3，∴点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.14．(文)(2010·天津文，14)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为__________．[答案](x＋1)2＋y2＝2[解析]在直线方程x－y＋1＝0中，令y＝0得，x＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)，由点到直线的距离公式得圆的半径R＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆的标准方程为(x＋1)＋y2＝2.(理)(2010·金华十校)圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|＝3，则该圆的标准方程是________．[答案](x－1)2＋y－122＝1[解析]如下图设圆心C(a，b)，由条件知a＝1，取弦AB中点D，则CD＝AC2－AD2＝12－322＝12，即b＝12，∴圆方程为(x－1)2＋y－122＝1.15．(文)(2011·青岛模拟)已知以点Ct，2t(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．[解析](1)证明：∵圆C过原点O，∴OC2＝t2＋4t2.设圆C的方程是(x－t)2＋y－2t2＝t2＋4t2，令x＝0，得y1＝0，y2＝4t；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，∴S△OAB＝12|OA|·|OB|＝12×4t×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kOC＝12.∴直线OC的方程是y＝12x.∴2t＝12t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的