2013年高考数学总复习8-5双曲线但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习8-5双曲线但因为测试新人教B版1.(文)(2011·烟台调研)与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x24－y2＝1B.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D．x2－y22＝1[答案]B[解析]椭圆的焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，由双曲线定义知2a＝|PF1|－|PF2|＝＋32＋1－－32＋1＝8＋43－8－43＝22，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线方程为x22－y2＝1.(理)(2011·山东理，8)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1[答案]A[解析]依题意：⊙C方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心C(3,0)，半径r＝2，∴双曲线的右焦点F2为(3,0)，即c＝3.又双曲线的渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，∴|3b|a2＋b2＝2，即b＝2，∴a2＝9－4＝5，故选A.2．(文)(2011·巢湖质检)设双曲线y2m－x22＝1的一个焦点为(0，－2)，则双曲线的离心率为()A.2B．2C.6D．22[答案]A[解析]由条件知m＋2＝4，∴m＝2，∴离心率e＝22＝2.(理)(2011·浙江金华十校模拟)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为()A.54B.52C.32D.54[答案]B[解析]因为椭圆的离心率e＝32，即ca＝32，也即a2－b2a2＝34，所以b2a2＝14，则1＋b2a2＝54，即a2＋b2a2＝54，则双曲线离心率e′＝c′a＝52，故选B.3．(文)(2011·南昌一模)设F为双曲线x216－y29＝1的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则|FN|－|FM||FA|的值为()A.25B.52C.54D.45[答案]D[解析]对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得F(－5,0)，A(5,0)，|FN|－|NA|＝8，|FM|＝|NA|，所以|FN|－|FM|＝8，|FN|－|FM||FA|＝810＝45，选D.(理)(2011·新泰一中模拟)设P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)左支上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以|PF2|为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是()A．内切B．外切C．内切或外切D．不相切[答案]A[解析]如下图，取PF2的中点M，则2|OM|＝|F1P|，且O、M为两圆圆心，OM为圆心距．由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2a，即2|MF2|－2|OM|＝2a，∴|OM|＝|MF2|－a，即圆心距等于两圆半径之差，则两圆内切．4．(文)(2011·青岛一检)设F1，F2分别是双曲线x2－y29＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且PF1→·PF2→＝0，则|PF1→＋PF2→|＝()A.10B．210C.5D．25[答案]B[解析]如下图∵F1、F2为双曲线的左右焦点，∴F1(－10，0)，F2(10，0)，由向量加法的平行四边形法则及直角三角形斜边上的中线性质知，|PF1→＋PF2→|＝|2PO→|＝210，故选B.(理)(2011·湖南湘西联考)已知双曲线x2m－y27＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为()A．8B．9C．16D．20[答案]B[解析]由已知，|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，又|AB|＝4，则|AF2|＋|BF2|＝16.据双曲线定义，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，所以4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，即a＝3，所以m＝a2＝9，故选B.5．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－1k1B．k0C．k≥0D．k1或k－1[答案]A[解析]由题意知(1＋k)(1－k)0，∴－1k1.6．(文)(2010·湖南长沙雅礼中学)过双曲线2x2－y2－2＝0的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条[答案]B[解析]过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若l⊥x轴，则|AB|＝4；若l经过顶点，此时|AB|＝2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|＝4的直线有两条，故选B.(理)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.－153，153B.0，153C.－153，0D.－153，－1[答案]D[解析]直线与双曲线右支相切时，k＝－153，直线y＝kx＋2过定点(0,2)，当k＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y＝－x＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153k－1.7．(2011·辽宁大连模拟)若双曲线x2a2－y29＝1(a0)的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则a的值为________．[答案]2[解析]∵焦点在x轴上，∴渐近线方程为y＝±3ax，又一条渐近线方程为32x，∴a＝2.8．(文)(2011·江西文，12)若双曲线y216－x2m＝1的离心率e＝2，则m＝________.[答案]48[解析]∵16＋m4＝2，∴m＝48.(理)(2011·辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．[答案]2[解析]4a2－9b2＝1a2＋b2＝4，∴a2＝1b2＝3，∴a＝1，c＝2，∴e＝ca＝2.9．(文)(2011·长沙二模)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．[答案]x216－y29＝1[解析]由已知得在椭圆中a＝13，c＝5，曲线C2为双曲线，由此知道在双曲线中a＝4，c＝5，故双曲线中b＝3，双曲线方程为x216－y29＝1.(理)(2011·宁波二模)设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝bax交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为________．[答案]ab[解析]因为右焦点F(c,0)到渐近线y＝bax，即bx－ay＝0的距离为|bc|a2＋b2＝b，所以|OA|＝2a，故△OAF的面积为12×2a×b＝ab.10．(文)设双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，若PA→＝512PB→，求a的值．[解析](1)将y＝－x＋1代入双曲线x2a2－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0①由题设条件知，1－a2≠04a4＋8a2－a2，解得0a2且a≠1，又双曲线的离心率e＝1＋a2a＝1a2＋1，∵0a2且a≠1，∴e62且e≠2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵PA→＝512PB→，∴(x1，y1－1)＝512(x2，y2－1)．∴x1＝512x2，∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0，∴1712x2＝－2a21－a2，512x22＝－2a21－a2，消去x2得，－2a21－a2＝28960，∵a0，∴a＝1713.(理)(2011·江西理，20)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC→＝λOA→＋OB→，求λ的值．[解析](1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1由题意又有y0x0－a·y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝ca＝305.(2)联立x2－5y2＝5b2y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24，设OC→＝(x3，y3)，OC→＝λOA→＋OB→，即x3＝λx1＋x2y3＝λy1＋y2①又C为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，化简得：λ2(x21－5y21)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2，由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.11.(文)(2011·皖南八校联考)已知抛物线x2＝43y的准线过双曲线x2m2－y2＝－1的一个焦点，则双曲线的离心率为()A.324B.3104C.3D.33[答案]C[解析]易知抛物线的焦点坐标为(0，3)，其准线方程为y＝－3，∵双曲线x2m2－y2＝－1的焦点坐标为(0，±m2＋1)，∴m2＋1＝3＝c2，∴c＝3，∴双曲线的离心率为e＝ca＝3.(理)(2011·山东潍坊一中期末)已知抛物线y2＝2px(p0)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A.5＋12B.3＋1C.2＋1D.22＋12[答案]C[解析]由AF⊥x轴知点A坐标为p2，p，代入双曲线方程中得，p24a2－p2b2＝1，∵双曲线与抛物线焦点相同，∴c＝p2，即p＝2c，又b2＝c2－a2，∴4c24a2－4c2c2－a2＝1，由e＝ca代入整数得，e4－6e2＋1＝0，∵e1，∴e2＝3＋22，∴e＝2＋1.12．(文)(2011·浙江文，9)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线C2：x2－y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝132B．a2＝13C．b2＝12D．b2＝2[答案]C[解析]由已知双曲线渐近线为y＝±2x.圆方程为x2＋y2＝a2，则|AB|＝2a.不妨取y＝2x与椭圆交于P、Q两点，且P在x轴上方，则由已知|PQ|＝13|AB|＝2a3，∴|OP|＝a3.则点P坐标为(5a15，25a15)，又∵点P在椭圆上，∴5a2225a2＋20a2225b2＝1.①又∵a2－b2＝5，∴b2＝a2－5.②，解①②得a2＝112b2＝12.故选C.(理)(2011·江西南昌调研)设圆C的圆心在双曲线x2a2－y22＝1(a0)的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：x－3y＝0截得的弦长等于2，则a＝()A.14B.6C.2D．2[答案]C[解析]由条件知，圆心C(a2＋2，0)，C到渐近线y＝2ax的距离为d＝2＋2＋a2＝2为⊙C的半径，又截得弦长为2，∴圆心C到直线l：x－3y＝0的距离a2＋22＝1，∴a2＝2，∵a0，∴a＝2.13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大