2013年高考数学总复习8-7圆锥曲线的综合问题(理)但因为测试新人教B版

2013年高考数学总复习8-7圆锥曲线的综合问题(理)但因为测试新人教B版1.(2011·宁波十校联考)已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于()A．3B．4C．32D．42[答案]C[解析]设A(x1,3－x21)，B(x2,3－x22)，由于A、B关于直线x＋y＝0对称，∴x1＝x22－33－x21＝－x2，解得x1＝－2x2＝1或x1＝1x2＝－2，设直线AB的斜率为kAB，∴|AB|＝1＋k2AB|x1－x2|＝32.故选C.2．(2011·南昌检测(二))过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13[答案]B[解析]记|F1F2|＝2c，则|PF1|＝2c3，|PF2|＝4c3，所以椭圆的离心率为|F1F2||PF1|＋|PF2|＝2c2c3＋4c3＝33，选B.3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为()A．－2B．－8116C．1D．0[答案]A[解析]由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1→·PF2→＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在x≥1上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即PA1→·PF2→取最小值，最小值为－2.4．(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.45B.35C．－35D．－45[答案]D[解析]方法一：联立y2＝4xy＝2x－4，解得x＝4y＝4或x＝1y＝－2，不妨设A在x轴上方，∴A(4,4)，B(1，－2)，∵F点坐标为(1,0)，∴FA→＝(3,4)，FB→＝(0，－2)，cos∠AFB＝FA→·FB→|FA→|·|FB→|＝－85×2＝－45.方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝35，|AF|＝5，|BF|＝2，由余弦定理知，cos∠AFB＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22·|AF|·|BF|＝－45.5．(2011·台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则|AF||BF|的值为()A．5B．4C．3D．2[答案]C[解析]由题意设直线l的方程为y＝3(x－p2)，即x＝y3＋p2，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得3y2－2py－3p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝3p，yB＝－33p，所以|AF||BF|＝|yAyB|＝3.6．(2011·海南一模)若AB是过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝()A．－c2a2B．－b2a2C．－c2b2D．－a2b2[答案]B[解析]解法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，kAM·kBM＝y0－y1x0－x1·y0＋y1x0＋x1＝y20－y21x20－x21＝－b2a2x20＋b2－－b2a2x21＋b2x20－x21＝－b2a2.解法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－b2a2.7．(2010·吉林省调研)已知过双曲线x2a2－y2b2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．[答案](1，2)[解析]由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即ba1，∴c2－a2a21，∴c2a22，即e22，∵e1，∴1e2.8．(2010·安徽安庆联考)设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2＋y24＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为2－1的点P的个数为________．[答案]3[解析]设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，代入x2＋y24＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±22，显见y＝2x＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，∵直线y＝2x＋22与l距离d＝22－25，∴欲使S△ABP＝12|AB|·h＝52h＝2－1，须使h＝22－25，∵d＝h，∴直线y＝2x＋22与椭圆切点，及y＝2x＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P有3个．9．(2011·海南五校联考)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝________.[答案]30°[解析]作NH垂直于准线于H，由抛物线的定义得|NH|＝|NF|，∴|NH||MN|＝|NF||MN|＝32＝sin∠HMN，得∠HMN＝60°，∴∠NMF＝90°－60°＝30°.10．(2011·安徽模拟)点A、B分别为椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．[解析](1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则AP→＝(x＋6，y)，FP→＝(x－4，y)．由已知得x236＋y220＝1x＋x－＋y2＝0消去y得，2x2＋9x－18＝0，∴x＝32或x＝－6由于y0，只能x＝32，于是y＝523所以点P的坐标是(32，523)．(2)直线AP的方程是x－3y＋6＝0设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是|m＋6|2，于是|m＋6|2＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得：m＝2∵椭圆上的点(x，y)到点M的距离是d，∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2＝49(x－92)2＋15，由于－6≤x≤6，所以当x＝92时d取最小值15.11.(2011·新课标全国文，9)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48[答案]C[解析]设抛物线为y2＝2px，则焦点Fp2，0，准线x＝－p2，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝12×12×6＝36.12．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)，过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，若OA→·OB→＝0，则椭圆的离心率e等于()A.－1＋52B.－1＋32C.12D.32[答案]A[解析]如上图，F2(c,0)把x＝c代入椭圆x2a2＋y2a2＝1得A(c，b2a)．由OA→·OB→＝0结合图形分析得|OF2|＝|AF2|，即c＝b2a⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac⇒(ca)2＋ca－1＝0⇒e2＋e－1＝0⇒e＝5－12.13．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(－∞，4]C．(10，＋∞)D．(－∞，10][答案]D[解析]过点A(0，－2)作曲线C：y＝2x2的切线，设方程为y＝kx－2，代入y＝2x2得，2x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－16＝0得k＝±4，当k＝4时，切线为l，∵B点在直线x＝3上运动，直线y＝4x－2与x＝3的交点为M(3,10)，当点B(3，a)满足a≤10时，视线不被曲线C挡住，故选D.14．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为32，其中A(0，－b)，B(a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足PN→·QN→＝0，且|PQ→|＝10，求直线l的方程．[解析](1)依题意有ca＝2，aba2＋b2＝32，a2＋b2＝c2.解得a＝1，b＝3，c＝2.所以，所求双曲线的方程为x2－y23＝1.(2)当直线l⊥x轴时，|PQ→|＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．由x2－y23＝xy＝kx－得，(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有x1＋x2＝4k2k2－30，x1x2＝4k2＋3k2－30，Δ＝k22－－k2－4k2－，所以k23.②因为PN→·QN→＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，|PQ→|＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝12|PQ|＝5.又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，而x0＝x1＋x22＝2k2k2－3＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.15．(2010·北京崇文区)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．(1)求椭圆的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析](1)由已知，椭圆方程可设为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b＝c＝1，a＝2.所求椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由x2＋2y2＝2y＝x－1得，3y2＋2y－1＝0，解得y1＝－1，y2＝13.∴S△POQ＝12|OF|·|y1－y2|＝12|y1－y2|＝23.(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(0m1)，使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．由x2＋2y2＝2y＝kx－可得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.∴x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.MP→＝(x1－m，y1)，MQ→＝(x2－m，y2)，PQ→＝(x2－x1，y2－y1)．其中x2－x1≠0以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形⇔(MP→＋MQ→)⊥PQ→⇔(MP→＋MQ→)·PQ→＝0⇔(x1＋x2－2m，y1＋y2)·(x2－x1，y2－y1)＝0⇔(x1＋x2－2m)(x2－x1)＋(y1＋y2)(y2－y1)＝0⇔(x1＋x2－2m)＋k(y1＋y2)＝0⇔4k21＋2k2－2m＋k24k21＋2k2－2＝0⇔2k2－(2＋4k2)m＝0⇔m＝k21＋2k2(k≠0)．∴0m12.1．(2010·安徽江南十校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a1)的上顶点为A，左、右焦点为F1、F2，直线AF2与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆内存在动点P，使|PF1|，|PO|，|PF2|成等比数列(O为坐标原点)，求P