2013年高考数学总复习6-3等比数列新人教B版

2013年高考数学总复习6-3等比数列新人教B版1.(2011·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则S5的值是()A.692B．69C．93D．189[答案]C[解析]由a2a4＝a23＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)，又a1＝3，各项均为正数，则q＝2.所以S5＝a1－q51－q＝－1－2＝93.2．(2011·潍坊一中期末、湖南湘西联考)各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，12a3，a1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5的值为()A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12[答案]B[解析]∵a2，12a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q0，∴q＝5－12.∴a3＋a4a4＋a5＝1q＝5＋12.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{an}中，若a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前4项和为()A．81B．120C．168D．192[答案]B[解析]设等比数列{an}的公比为q，根据题意及等比数列的性质可知：a5a2＝27＝q3，所以q＝3，所以a1＝a2q＝3，所以S4＝－341－3＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为()A.8532B.3116C.158D.852[答案]B[解析]∵9S3＝S6，∴8(a1＋a2＋a3)＝a4＋a5＋a6，∴8＝q3，∴q＝2，∴an＝2n－1，∴1an＝(12)n－1，∴{1an}的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B.4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1、S3、S2成等差数列，则{an}的公比等于()A.1B.12C.－12D.1＋52[答案]C[解析]2S3＝S1＋S2，即2(a1＋a1q＋a1q2)＝a1＋a1＋a1q，得q＝－12，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为()A.2n＋1－13B.2n＋1－23C.22n－13D.22n－23[答案]C[解析]当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.∴an＝2n－1(n∈N*)，则数列{an}的奇数项的前n项和为1－22n1－22＝22n－13，故选C.(理)(2011·泉州市质检)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为()A．12B．14C．15D．16[答案]D[解析]a5＋a6＋a7＋a8a1＋a2＋a3＋a4＝q4＝2，由a1＋a2＋a3＋a4＝1.得a1(1＋q＋q2＋q3)＝1，即a1·1－q41－q＝1，∴a1＝q－1，又Sn＝15，即a1－qn1－q＝15，∴qn＝16，又∵q4＝2，∴n＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于()A．－43B．－32C．－23或－32D．－34或－43[答案]C[解析]集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q＝－32或－23.7．已知f(x)是一次函数，若f(3)＝5，且f(1)、f(2)、f(5)成等比数列，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)的值是________．[答案]10000[解析]设f(x)＝kx＋b，f(3)＝3k＋b＝5，由f(1)、f(2)、f(5)成等比数列得(2k＋b)2＝(k＋b)·(5k＋b)，可得k＝2，b＝－1.∴f(n)＝2n－1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·安徽皖西四校联考)在公差不为零的等差数列{an}中，a1、a3、a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an＝________.[答案]n＋1[解析]设等差数列首项a1，公差d，则∵a1、a3、a7成等比，∴a23＝a1a7，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，又S7＝7a1＋7×62d＝35d＝35，∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝n＋1.(理)(2010·浙江金华)如果一个n位的非零整数a1a2…an的各个数位上的数字a1，a2，…，an或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a1a2…an为n位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案]27[解析]适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．9．(2011·锦州模拟)在等比数列{an}中，若公比q1，且a2a8＝6，a4＋a6＝5，则a5a7＝________.[答案]23[解析]∵a2a8＝6，∴a4a6＝6，又∵a4＋a6＝5，且q1，∴a4＝2，a6＝3，∴a5a7＝a4a6＝23.10．(文)(2011·大纲全国文，17)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.[解析]设{an}的公比为q，由已知有：a1q＝66a1＋a1q2＝30.解得a1＝3q＝2或a1＝2q＝3(1)当a1＝3，q＝2时，an＝a1·qn－1＝3×2n－1Sn＝a1－qn1－q＝－2n1－2＝3×(2n－1)(2)当a1＝2，q＝3时，an＝a1·qn－1＝2×3n－1Sn＝a1－qn1－q＝－3n1－3＝3n－1.综上，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)或an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.(理)(2011·山东临沂一模)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(1a1＋1a2)，a3＋a4＝32(1a3＋1a4)．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝a2n＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1)设等比数列{an}的公比为q，则an＝a1qn－1，由已知得a1＋a1q＝2(1a1＋1a1q)，a1q2＋a1q3＝32(1a1q2＋1a1q3)．化简得a21＋＝＋，a21q5＋＝＋，即a21q＝2，a21q5＝32.又∵a10，q0，解得a1＝1，q＝2.∴an＝2n－1.(2)由(1)知bn＝a2n＋log2an＝4n－1＋(n－1)，∴Tn＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n－1)＝4n－14－1＋－2＝4n－13＋－2.11.(文)(2011·辽宁六校模考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是()A.a5a3B.S5S3C.an＋1anD.Sn＋1Sn[答案]D[解析]数列{an}为等比数列，由8a2＋a5＝0，知8a2＋a2q3＝0，因为a2≠0，所以q＝－2，a5a3＝q2＝4；S5S3＝1－q51－q3＝113；an＋1an＝q＝－2；Sn＋1Sn＝1－qn＋11－qn，其值与n有关，故选D.(理)(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为()A.5－12B.12C.5－14D.5＋14[答案]A[解析]设三内角ABC，∵sinA、sinB、sinC成等比数列，∴a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，∴c2－a2＝ac，∴ac2＋ac－1＝0.∵ac0，∴ac＝5－12＝sinA，故选A.[点评]在△ABC中，由正弦定理a＝2RsinA、b＝2RsinB可知，ab⇔AB⇔sinAsinB.12．(文)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．－15C．5D.15[答案]A[分析]根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)．由对数的运算法则，得出an＋1与an的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值．[解析]由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)得，an＋1＝3an，∵an0，∴数列{an}是公比等于3的等比数列，∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35，∴log13(a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.(理)已知等比数列{an}的公比q0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是()A．S4a5S5a4B．S4a5S5a4C．S4a5＝S5a4D．不确定[答案]A[解析](1)当q＝1时，S4a5－S5a4＝4a21－5a21＝－a210.(2)当q≠1且q0时，S4a5－S5a4＝a211－q(q4－q8－q3＋q8)＝a21q31－q(q－1)＝－a21q30.[点评]作差，依据前n项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{an}中，a10，q0，前n项和为Sn，试比较S3a3与S5a5的大小．[解析]当q＝1时，S3a3＝3，S5a5＝5，所以S3a3S5a5；当q0且q≠1时，S3a3－S5a5＝a1－q3a1q2－－a1－q5a1q4－＝q2－q3－－q5q4－＝－q－1q40，所以有S3a3S5a5.综上可知有S3a3S5a5.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，bn＝a3na2n＋1，且{bn}的前n项和为Tn，若对一切正整数n都有SnTn，则数列{an}的公比q的取值范围是()A．0q1B．q1C．q2D．1q2[答案]B[解析]由于{an}是等比数列，公比为q，所以bn＝a3na2n＋1＝1q2an，于是b1＋b2＋…＋bn＝1q2(a1＋a2＋…＋an)，即Tn＝1q2·Sn.又SnTn，且Tn0，所以q2＝SnTn1.因为an0对任意n∈N*都成立，所以q0，因此公比q的取值范围是q1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{an}中，an0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当S11＋S22＋…＋Snn最大时，n的值等于()A．8B．9C．8或9D．17[答案]C[解析]∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，又an0，∴a3＋a5＝5，又q∈(0,1)，∴a3a5，∵a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1，∴q＝12，a1＝16，an＝16×(12)n－1＝25－n，bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝－2，∴Snn＝9－n2，∴当n≤8时，Snn0；当n＝9时，Snn＝0；当n9时，Snn0，∴当n＝8或9时，S11＋S22＋…＋Snn最大．14．(2011·360题库网全国文，17)已知等比数列{an}中，a1＝13，公比q＝13.(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝1－an2；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求