2013年高考理科数学辅导不等式

第七章不等式高考导航考试要求重难点击命题展望1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；(2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式：2ba≥ab(a，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程；(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.本章重点：1.用不等式的性质比较大小；2.简单不等式的解法；3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题；4.基本不等式的应用.本章难点：1.含有参数不等式的解法；2.不等式的应用；3.线性规划的应用.不等式具有应用广泛、知识综合、能力复合等特点.高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和综合，将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查.线性规划是数学应用的重要内容，高考中除考查线性规划问题的求解与应用外，也考查线性规划方法的迁移.知识网络7.1不等式的性质典例精析题型一比较大小【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.【变式训练1】已知m＝a＋1a－2(a＞2)，n＝x－2(x≥12)，则m，n之间的大小关系为()A.m＜nB.m＞nC.m≥nD.m≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.m＝a＋1a－2＝a－2＋1a－2＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤(12)－2＝4.题型二确定取值范围【例2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围.【解析】因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4，两式相加得－π2＜α＋β2＜π2.又－π4≤－β2＜π4，所以－π2≤α－β2＜π2，又因为α＜β，所以α－β2＜0，所以－π2≤α－β2＜0，综上－π2＜α＋β2＜π2，－π2≤α－β2＜0为所求范围.【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5.令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，所以1,9438,35故f(3)＝－53(a－c)＋83(4a－c)∈[－1,20].题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab＞0；②ca＞db；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:ca＞db⇔bc－adab＞0.(1)由ab＞0，bc＞ad⇒bc－adab＞0，即①③⇒②；(2)由ab＞0，bc－adab＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad，即①②⇒③；(3)由bc－ad＞0，bc－adab＞0⇒ab＞0，即②③⇒①.故可组成3个正确命题.【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.【变式训练3】a、b、c、d均为实数，使不等式ab＞cd＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是_______________(只要写出符合条件的一组即可).【解析】写出一个等比式子，如21＝42＞0.此时内项的积和外项的积相等，减小42的分子，把上式变成不等式21＞32＞0，此时不符合ad＜bc的条件，进行变换可得21＞－3－2＞0，此时2×(－2)＜1×(－3).故(2,1，－3，－2)是符合要求的一组值.总结提高1.不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab＞0，a＞b⇒1a＜1b这一性质时，不可弱化为a＞b⇒1a＜1b，也不可强化为a＞b＞0⇒1a＜1b.2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.7.2简单不等式的解法典例精析题型一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x2－2x－3＞0；(2)已知A＝{x|3x2－7x＋2＜0}，B＝{x|－2x2＋x＋1≤0}，求A∪B，(∁RA)∩B.【解析】(1)方程两根为x1＝－1，x2＝3，所以原不等式解集为{x|x＜－1或x＞3}.(2)因为A＝{x|13＜x＜2}，∁RA＝{x|x≤13或x≥2}，B＝{x|x≤－12或x≥1}，所以A∪B＝{x|x≤－12或x＞13}，(∁RA)∩B＝{x|x≤－12或x≥2}.【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.【变式训练1】设函数f(x)＝),0()0(22xcbxxx若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为()A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B.[－3，－1]C.[－3，－1]∪(0，＋∞)D.[－3，＋∞)【解析】选C.由已知对x≤0时f(x)＝x2＋bx＋c，且f(－4)＝f(0)，知其对称轴为x＝－2，故－b2＝－2⇒b＝4.又f(－2)＝0，代入得c＝4，故f(x)＝),0(44)0(22xxxx分别解之取并集即得不等式解集为[－3，－1]∪(0，＋∞).题型二解含参数的一元二次不等式问题【例2】解关于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0(m∈R).【解析】当m＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1；当m≠0时，可分为两种情况：(1)m＞0时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝2m.所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞2m}；(2)m＜0时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，其对应方程两根为x1＝－1，x2＝2m，x2－x1＝2m－(－1)＝m＋2m.①m＜－2时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1，不等式的解集为{x|－1＜x＜2m}；②m＝－2时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为∅；③－2＜m＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，不等式解集为{x|2m＜x＜－1}.综上所述：当m＜－2时，解集为{x|－1＜x＜2m}；当m＝－2时，解集为∅；当－2＜m＜0时，解集为{x|2m＜x＜－1}；当m＝0时，解集为{x|x＜－1}；当m＞0时，解集为{x|x＜－1或x＞2m}.【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.【变式训练2】解关于x的不等式ax－1x＋1＞0.【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞1a或x＜－1}；当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜－1}；当a＝－1时，不等式的解集为∅；当a＜－1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜1a}.题型三一元二次不等式与一元二次方程之间的联系【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0，且ax2＋bx＋c＝0的两根为1、3，则－ba＝1＋3，ca＝1×3，即ba＝－4，ca＝3.又a＜0，不等式cx2＋bx＋a＜0可以化为cax2＋bax＋1＞0，即3x2－4x＋1＞0，解得x＜13或x＞1.【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.【变式训练3】(2009江西)若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝.【解析】2.作出函数y＝9－x2和y＝k(x＋2)－2的图象，函数y＝9－x2的图象是一个半圆，函数y＝k(x＋2)－2的图象是过定点(－2，－2)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a＝1，即1是方程9－x2＝k(x＋2)－2的根，代入得k＝2.总结提高1.解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ＞0时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析题型一平面区域【例1】已知函数f(x)的定义域为[－2，＋∞)，且f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，则平面区域1)2(,0,0bafba所围成的面积是()A.2B.4C.5D.8【解析】选B.由f′(x)的图象可知，f(x)在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.因为f(－2)＝f(4)＝1，所以当且仅当x∈(－2,4)时，有f(x)＜f(－2)＝f(4)＝1.作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【变式训练1】若a≥0，b≥0，且当1,0,0yxyx时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是()A.12B.π4C.1D.π2【解析】选C.当a＝b＝1时，满足x＋y≤1，且可知0≤a≤1，0≤b≤1，所以点P(a，b)所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二利用线性规划求最值(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝2y＋1x＋1的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x＋2y－4＝z过点C时，z最大.所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是(|0－5＋2|2)2＝92.(3)z＝2·y－(－12)x－(－1)表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－12)连线斜率的2倍.因为kQA＝74，kQB＝38，所以z的取值范围为[34，72].【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理