2013年高考试题数学理(四川卷)有答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页．考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上大题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后,将本试题卷和答题卡上一并交回．第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={x|x+2=0},集合B={x|x2−4=0},则A∩B=()(A){−2}(B){2}(C){−2,2}(D)2．如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()(A)A(B)B(C)C(D)D3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()4．设xZ,集合A是奇数集,集合B是偶数集．若命题p:xA,2xB,则()(A)p:xA,2xB(B)p:xA,2xB(C)p:xA,2xB(D)p:xA,2xB5．函数f(x)=2sin(x+)(0,−22)的部分图象如图所示,则,的值分别是()(A)2,−3(B)2,−6(C)4,−6(D)4,36．抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2−y23=1的渐近线的距离是()(A)12(B)32(C)1(D)37．函数y=x33x−1的图象大致是()8．从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lga−lgb的不同值的个数是()(A)9(B)10(C)18(D)209．节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通(A)(B)(C)(D)yxDBAOC正视图侧视图俯视图−22−3512xOyxOy(A)xOy(B)xOy(C)xOy(D)电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()(A)14(B)12(C)34(D)7810．设函数f(x)=ex+x−a(aR,e为自然对数的底数)．若曲线y=sinx上存在(x,0y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是()(A)[1,e](B)[e−1−1,1](C)[1,1+e](D)[e−1−1,e+1]第二部分(非选择题共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．11．二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是_______．(用数字作答)12．在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点),AB→+AD→=AO→,则=______．13．设sin2=−sin,(2,),则tan2的值是______．14．已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=x2−4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是________．15．设P1,P2,…,Pn为平面内的n个点,在平面内的所有点中,若点P到P1,P2,…,Pn点的距离之和最小,则称点P为P1,P2,…,Pn点的一个“中位点”．例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点．则有下列命题：①若A,B,C三个点共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A,B,C,D共线,则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和．17．(本小题满分12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2A−B2cosB−sin(A−B)sinB+cos(A+C)=−35.(Ⅰ)求cosA的值；(Ⅱ)若a=42,b=5,求向量BA→在BC→方向上的投影．18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生．(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3)；(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；(Ⅲ)按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,AB=AC=2AA1,BAC=120,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点．(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l平面ADD1A1；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A−A1M−N的余弦值．ABCDPA1B1C1D120．(本小题满分13分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点分别为F1(−1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(43,13)．(Ⅰ)求椭圆C的离心率；(Ⅱ)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点,点Q是线段MN上的点,且2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2,求点Q的轨迹方程．21．(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2+2x+a，x0lnx，x0,其中a是实数．设A(x1,y1),B(x2,y2)为该函数图象上的两点,且x1x2．(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x20,求x2−x1的最小值；(Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围．选择题：ABDDABCCCA填空题：11.10(即C53)12.213.314.(−7,3)15.①④二卷：16.评析:本小题考查等差数列,等比中项等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合等数学思想.解析:设该数列公差为d,前n项和为Sn,由已知可得2a1+2d=8(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),即a1+d=4d(d−3a1)=0,解得a1=4d=0或a1=1d=3,即数列{an}的首项为4,公差为0;或首项为1,公差为3,其前n项和为Sn=4n或Sn=3n2−n2.……12分17.评析:本小题主要考查两角和的余弦公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系，考查运算求解能力，考查化归与转化等数学思想.解析:(Ⅰ)由2cos2A−B2cosB−sin(A−B)sinB+cos(A+C)=−35,得[1+cos(A−B)]cosB−sin(A−B)sinB−cosB=−35,即cos(A−B)cosB−sin(A−B)sinB=−35,则cos(A−B+B)=−35,即cosA=−35.……5分(Ⅱ)由cosA=−35,得sinA=45,由正弦定理,有asinA=bsinB,sinB=bsinAa=22,由题知ab,则AB,故B=4,则cosB=22.根据余弦定理,有(42)2=52+c2−25c(−35),即c2+6c−7=0解得c=1或c=−7(舍去)故向量BA→在BC→方向上的投影为|BA→|cosB=ccosB=22.……12分开始输入xx为偶数x能被3整除y=3结束是是否否y=1y=2输出y18.评析:本小题主要考查算法与程序框图、古典概率、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力,考查数据处理能力、应用意识和创新意识.解析:(Ⅰ)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出的y=1,故P1=12;当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出的y=2,故P2=13;当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出的y=3,故P3=16.输出y的值为1的概率是12,输出y的值为2的概率是13,输出y的值为3的概率是16.……3分.(Ⅱ)当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为1的频率甲1027210037621006972100乙1051210069621003532100比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.……7分(Ⅲ)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.则~B(3,13).P(=0)=C30(13)0(23)3=827,P(=1)=C31(13)1(23)2=49,P(=2)=C32(13)2(23)1=29,P(=3)=C33(13)3(23)0=127.故的分布列为0123P8274929127所以,E=0827+149+229+3127=1,即的数学期望为1.……12分19.评析:本小题主要考查基本作图、线面的平行与垂直、二面角等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,并考查应用向量知识解决立体几何问题的能力．解析:(Ⅰ)如图,在平面ABC内过点P作直线l//BC,∵l平面A1BC,BC平面A1BC,由直线与平面平行的判定定理可知,l//平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中点,得BCAD,lAD.∵AA1平面ABC,AA1l.又AD,AA1都在平面ADD1A1内且相交.直线l平面ADD1A1.……6分(Ⅱ)解法一:连接A1P,过A作AEA1P于E,过E作EFA1M于F,连接EF.由(Ⅰ)知MN平面A1AE,平面A1AE平面A1MN,AE平面A1MN,则A1MAE.A1M平面AEF,则A1MAF.故AFE为二面角A−A1M−N的平面角(设为).设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,BAC=120,有BAD=60,AB=2,AD=1.又P为AB的中点,AP=12,AM=1,在RtAA1P中,A1P=52;在RtA1AM中,A1M=2.从而AE=AA1·APA1P=15,AF=AA1·AMA1M=12,sin=AEAF=25,cos=1−sin2=1−(25)2=155.故二面角A−A1M−N的余弦值为155.……12分解法二:∵D,D1分别是BC,B1C1的中点,DD1//AA1,又AA平面ABC,AA1平面A1B1C1,则DD1平面A1B1C1,再由AB=AC可得A1B1=A1C1,∵D1是B1C1的中点,A1D1B1C1.则以D1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.∵P是AD的中点,M,N分别是AB,AC的中点.设AA1=1,则A1(1,0,0),A(1,0,1),B(0,3,1),M