2013江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题12矩阵与变换

12-1专题12矩阵与变换江苏省昆山中学陈纪华【课标要求】1．课程目标本专题的内容包括：二阶矩阵与平面向量、几种常见的平面变换、变换的复合与矩阵的乘法、逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的简单应用.通过本专题的教学，使学生了解矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，许多数学模型都可以用矩阵来表示；使学生理解二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义；初步体会矩阵应用的广泛性，进一步体会代数与几何结合的数形结合思想.2．复习要求(1)二阶矩阵与平面向量了解矩阵的有关概念；掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法；理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射．(2)常见的平面变换理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的几何意义及其矩阵表示.理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线，即A(λ1α+λ2β)＝λ1Aα+λ2Aβ.了解单位矩阵.(3)矩阵的复合与矩阵的乘法熟练掌握二阶矩阵的乘法；理解两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵；理解两个二阶矩阵相乘的几何意义.理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）.(4)二阶逆矩阵理解逆矩阵的意义；掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.理解逆矩阵的唯一性和(AB)-1＝B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵.了解二阶行列式的定义；会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组.能用变换与映射的观点认识解二元线性方程组解的意义.会用系数矩阵的逆矩阵解方12-2程组.能通过系数矩阵理解二元线性方程组解的存在性、唯一性.(5)二阶矩阵的特征值与特征向量掌握矩阵特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义.会求二阶矩阵的特征值与特征向量.利用矩阵A的特征值与特征向量给出nA的简单表示.(6)二阶矩阵的简单应用初步了解高阶矩阵．了解矩阵的简单应用．3．复习建议(1)对矩阵概念的理解应通过大量举例进行，使学生认识到矩阵的实际背景及学习必要．并注意本专题的矩阵只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m×n阶矩阵以及（aij）形式的表示.（2）强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义的理解，使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合的映射．(3)对几种常见平面变换的复习是本专题的一个重点．应注意揭示新旧知识的异同点,注重新旧知识的整合与循环上升，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示．(4)对二阶矩阵的乘法应使学生熟练掌握其运算规则，了解相关运算律，并能通过平面变换理解其几何意义．(5)二阶矩阵的逆矩阵是复习的另一个重点，应使学生明晰逆矩阵存在的条件，及其唯一性，能准确求解二阶矩阵的逆矩阵，并能从几何变换的角度加以理解应用．能用逆矩阵的方法求解二元线性方程组AXB，并能推广到,,ABX均为二阶矩阵的情形，即1AXBXAB．(6)对特征值与特征向量的复习一要学生掌握其代数求解方法，二要从几何变换角度讨论矩阵的特征向量定义及特征向量作为不变量的意义，对特征多项式只作为求解特征值的一个工具使用，不展开讨论．(7)矩阵的应用是个难点，应通过应用使学生了解学习矩阵的必要性，感受矩阵在密码学，经济领域，生物学领域及网络图中的简单应用，但所用实例难度以教材为标杆．(8)充分重视本专题教材上的例习题,应做到条条落实，切记＂忘本＂．12-3本专题的复习应避免两个极端．一是不注意考试说明中的要求，将大学知识简单下放，苦煞学生；二是不重视本专题的复习，以它不是高中数学核心知识为由，敷衍了事．【典型例题】例1求矩阵3221A的逆矩阵.(2009江苏卷)解：设矩阵A的逆矩阵为,xyzw则3210,2101xyzw即323210,2201xzywxzyw故321,320,20,21,xzywxzyw解得：1,2,2,3xzyw，从而A的逆矩阵为11223A.或由逆矩阵知识abAcd则1dbadbcadbcAcaadbcadbc直接可得答案．例2已知曲线C：1xy将曲线C绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C的方程；解：由题设条件，000022cos45sin4522sin45cos452222M，2222'2222:'22222222MxyxxxTyyyxy，即有22'2222'22xxyyxy，解得2('')22('')2xxyyyx，代入曲线C的方程为22''2yx。所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转045后，得到的曲线是222yx。12-4例3已知矩阵M221a，其中aR，若点(1,2)P在矩阵M的变换下得到点(4,0)P，（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.解：（1）由221a12=40，∴2243aa.（2）由（1）知M2321，则矩阵M的特征多项式为223()(2)(1)63421f令()0f，得矩阵M的特征值为1与4.当1时，(2)3002(1)0xyxyxy∴矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为11;当4时，(2)302302(1)0xyxyxy∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为32.例４自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等.因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系.但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为{an}，{bn}，并有关系式13122ananbnbnanbn，其中a1＝1，b1＝1，试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋势.解：1=1-2,2=11是矩阵M=3122分别对应特征值1=1，2=4的两个特征向量，12-5而1与2不共线.又=11=311+（－2）1-2∴M20=M20(32+（－2）1)=3M202+(－2)M201=32202+（－2）×1201=3×420×11+(-2)×120×1-2=2020342344≈20203434答：20个时段后这两个种群的数量都趋向于3×420.例５已知矩阵122301,,231210ABC，求满足AXBC的矩阵X．解：113223,2112AB，113201231021101201XACB．【专题训练】１．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值及相应的特征向量．2．已知矩阵1010,210012MN，试求曲线cosyx在矩阵1MN变换下的函数解析式.3．二阶矩阵M有特征值8，其对应的一个特征向量e=11，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成点(2,4)，求矩阵2M．4.设数列,nnab满足1132,2nnnnnaabbb，且满足44nnnnaaMbb，试求二阶矩阵M．12-65．若矩阵01aAb把直线:270lxy变为自身，求实数,ab的值．6．用逆矩阵知识求解方程组20251xyxy7．已知矩阵11Aab,A的一个特征值2，其对应的特征向是是121.（1）求矩阵A；（2）若向量74，计算5A的值.【专题训练参考答案】1．解：由条件得矩阵2003M；它的特征值为2和3，对应的特征向量为10及01；2．解:11002M,所以1MN=11100022020102即在矩阵1MN的变换下有如下过程,122xxxyyy,则1cos22yx,即曲线cosyx在矩阵1MN的变换下的解析式为2cos2yx3．解：设M=abcd，则由abcd11=811得abcd=88，即a+b=c+d=8．由abcd12=24,得2224abcd，从而-a+2b=-2，-c+2d=4．由a+b=8及-a+2b=-2，解得a=6，b=2；由c+d=8及-c+2d=4，解得c=4，b=4所以M=6244，12-7从而M2=62446244=44204024．4．解：依题设有：113202nnnnaabb令3202A，则4MA23232910020204A4MA22A9100491004811300165．''01axaxxbyxbyy''xaxyxby代入:270lxy得(21)70axby，与:270lxy重合1,12ab.6．设120,,,251xABXy原方程组可写成AXB．A可逆115222.,2111xAXABy7．解：(1)11A24；(2)矩阵A的特征多项式为1()1f242560，得122,3,当1122,1时,当2213,1时得．由12mn，得273,14mnmnmn得．∴5A5551212(3)3()AAA55551122214353()32311339