2015年考研数一真题(WORD清晰版)

2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)设函数()fx在,内连续，其中二阶导数()fx的图形如图所示，则曲线()yfx的拐点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则()(A)3,2,1abc(B)3,2,1abc(C)3,2,1abc(D)3,2,1abc(3)若级数1nna条件收敛，则3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的()(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点(4)设D是第一象限由曲线21xy，41xy与直线yx，3yx围成的平面区域，函数,fxy在D上连续，则,Dfxydxdy()(A)13sin2142sin2cos,sindfrrrdr(B)1sin23142sin2cos,sindfrrrdr(C)13sin2142sin2cos,sindfrrdrxyo(D)1sin23142sin2cos,sindfrrdr(5)设矩阵21111214Aaa，21bdd，若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为()(A),ad(B),ad(C),ad(D),ad(6)设二次型123,,fxxx在正交变换为xPy下的标准形为2221232yyy，其中123,,Peee，若132,,Qeee，则123,,fxxx在正交变换xQy下的标准形为()(A)2221232yyy(B)2221232yyy(C)2221232yyy(D)2221232yyy(7)若A,B为任意两个随机事件，则()(A)PABPAPB(B)PABPAPB(C)2PAPBPAB(D)2PAPBPAB(8)设随机变量,XY不相关，且2,1,3EXEYDX，则2EXXY()(A)3(B)3(C)5(D)5二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)20lncoslim_________.xxx(10)22sin()d________.1cosxxxx(11)若函数(,)zzxy由方程cos2xexyzxx确定，则(0,1)d________.z(12)设是由平面1xyz与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.xyzdxdydz(13)n阶行列式20021202___________.00220012(14)设二维随机变量(,)xy服从正态分布(1,0;1,1,0)N，则{0}________.PXYY三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数ln(1)sinfxxaxbxx，3()gxkx，若fx与gx在0x是等价无穷小，求,,abk的值.(16)(本题满分10分)设函数fx在定义域I上的导数大于零，若对任意的0xI，由线=yfx在点00,xfx处的切线与直线0xx及x轴所围成区域的面积恒为4，且02f，求fx的表达式.(17)(本题满分10分)已知函数,fxyxyxy，曲线C：223xyxy，求,fxy在曲线C上的最大方向导数.(18)(本题满分10分)（I）设函数()()ux,vx可导，利用导数定义证明uxvxuxvxuxvx[()()]()()()()（II）设函数()()()12nux,ux,,ux可导，nfxuxuxux12()()()()，写出()fx的求导公式.(19)(本题满分10分)已知曲线L的方程为222,,zxyzx起点为0,2,0A，终点为0,2,0B，计算曲线积分2222dd()dLIyzxzxyyxyz.(20)(本题满11分)设向量组1,23,ααα内3R的一个基，113=2+2kβαα，22=2βα，313=++1kβαα.（I）证明向量组123为3R的一个基;（II）当k为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基123下的坐标相同，并求所有的ξ.(21)(本题满分11分)设矩阵02313312aA相似于矩阵12000031bB=.(I)求,ab的值；（II）求可逆矩阵P，使1PAP为对角矩阵..(22)(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为2ln2,0,0,0.xxfxx对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数.(I)求Y的概率分布;(II)求EY(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为：xfx1,1,(,)10,其他.其中为未知参数，12nx,x,,x为来自该总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量.(II)求的最大似然估计量.