2015年考研数学三真题

12015年考研数学三真题与解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．设nx是数列，则下列命题中不正确的是（）（A）若limnnxa，则221limlimnnnnxxa（B）若221limlimnnnnxxa，则limnnxa（C）若limnnxa，则331limlimnnnnxxa(D)若331limlimnnnnxxa，则limnnxa2．设函数()fx在(,)上连续，其二阶导数()fx的图形如右图所示，则曲线()yfx在(,)的拐点个数为（A）0（B）1（C）2（D）33．设222222(,)|,Dxyxyxxyy，函数(,)fxy在D上连续，则(,)Dfxydxdy（A）22420004cossin(cos,sin)(cos,sin)dfrrrdrdfrrrdr（B）22420004sincos(cos,sin)(cos,sin)dfrrrdrdfrrrdr（C）210112(,)xxdxfxydy（D）21202(,)xxxdxfxydy4．下列级数发散的是（）（A）13nnn（B）1111ln()nnn（C）211()lnnnn（D）1!nnnn５．设矩阵2211111214,Aabdad，若集合12,，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件是（A）,ad（B）,ad（C）,ad（D）,ad26．设二次型123(,,)fxxx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123,,Peee，若132,,Qeee，则123(,,)fxxx在xQy下的标准形为（A）2221232yyy（B）2221232yyy（C）2221232yyy（D）2221232yyy7．若,AB为任意两个随机事件，则（）（A）()()()PABPAPB（B）()()()PABPAPB（C）2()()()PAPBPAB（D）2()()()PAPBPAB8．设总体12~(.),,,,nXBmXXX为来自总休的简单随机样本，X为样本均值，则21niiEXX（A）11()()mn（B）11()()mn（C）111()()()mn（D）1()mn二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．20ln(cos)limxxx10．设函数()fx连续，20()()xxxftdt，若1115(),()，则1()f．11．若函数(,)zzxy由方程231xyzexyz确定，则00(,)|dz．12．设函数()yyx是微分方程20yyy的解，且在0x处()yx取极值3，则()yx．13．设三阶矩阵A的特征值为221,,，2BAAE，其中E为三阶单位矩阵，则行列式B．14．设二维随机变量(,)XY服从正态分布10110(,;,;)N，则0PXYY．3三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sinfxxaxbxx，3()gxkx在0x时为等价无穷小，求常数,,abk的取值．16．（本题满分10分）计算二重积分()dxdyDxxy，其中2222(,)|,Dxyxyyx417．（本题满分10分）为了实现利润最大休，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为价格，MC为边际成本，为需求随意性0()．（1）证明定价模型为11MCp；（2）若该商品的成本函数为21600()CQQ，需求函数40Qp，试由（1）中的定价模型确定此的价格．18．（本题满分10分）设函数)(xfy在定义域I上的导数大于零，若对任意的0xI，曲线)(xfy在点00(,())xfx处的切线与直线0xx及x轴所围成区域的面积恒为4，且02()f，求()fx的表达式．519．（本题满分10分）（1）设函数(),()uxvx都可导，利用导数定义证明(()())()()()()uxvxuxvxuxvx；（2）设函数12(),(),,()nuxuxux都可导，12()()()()nfxuxuxux，写出()fx的求导公式．20．（本题满分11分）设矩阵101101aAaa，且30A．（1）求a的值；（2）若矩阵X满足22XXAAXAXAE，其中E为三阶单位矩阵，求X．621．（本题满分11分）设矩阵02313312Aa相似于矩阵12000031Bb．（1）求,ab的值；（2）求可逆矩阵P，使1PAP为对角矩阵．22．（本题满分11分）设随机变量X的概率密度为22000ln,(),xxfxx对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为次数．求Y的分布函数；（1）求Y的概率分布；（2）求数学期望.EY723．（本题满分11分）设总体X的概率密度为1110,(;),xfx其他其中为未知参数，12,,,nXXX是来自总体的简单样本．（1）求参数的矩估计量；（2）求参数的最大似然估计量．