2013版新北师大八年级数学下1.1等腰三角形知识点及典型习题

1教师张銮学生姓名上课日期学科数学年级教材版本浙教版类型知识讲解□：考题讲解□:本人课时统计本月第（）课时本年度共（）课时教学案主题等腰三角形课时数量（全程或具体时间）授课时段教学目标掌握三角形的性质掌握三角形的判定教学重点、难点三角形的性质三角形的判定考点分析三角形的性质中位线30度的直角三角形性质直角三角形的斜边中线三角形的判定教学过程学生探索求知增智活动三角形知识回顾考点一、三角形（3~8分）1、三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）教师引导启发过程2把边和角联系在一起，有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。③证明线段不等关系。7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形的面积三角形的面积=21×底×高3新知：等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则2ba④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2180A2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质等腰三角形判定中线1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角；2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等。1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。高线1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边；2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形；2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。角等边对等角等角对等边边底的一半腰长周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。4（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等随堂检测参考答案：1．15；2．3；3．40°或100°；4．17或22；5.５；6．４：7．Ａ；8．；9．证明：(1)∵AD∥BC，AB=DC∠B=60°∴∠DCB＝∠B＝60°∠DAC＝∠ACB又∵AD=DC∴∠DAC＝∠DCA∴∠DCA=∠ACB＝∴∠B+∠ACB＝90°∴AB⊥AC（2）过点A作AE⊥BC于E∵∠B＝60°∴∠BAE＝30°又∵AB=DC＝6∴BE=3∴∵∠ACB＝30°，AB⊥AC∴BC=2AB=12∴10．解：(1)证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=∠BAC．∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC=CD）∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB．∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB．（注：证全等也可得到AC=AB）∴AB=CD．(2)∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．∵AC=CD∴∠CAD=∠CDA∴∠MPC=∠CDA．∴∠MPF=∠CDM．∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．（注：证全等也可得到CE=BE）∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM．（注：5证全等也可得到CM=BM）∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一)∴∠CME=∠BME．（注：证全等也可得到∠CME=∠BME）∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠CME，∴∠MCD=∠F(三角形内角和)．注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F同步练习参考答案：1．12；2．B；3．3；4．50°或65°；5．C；6．；6．C；7．18；8．（1）作图见答案图，（2）是等边三角形，是的中点，平分（三线合一），．，．又，．又，，，．又，．9．(1)解：y＝7－2x(2≤x≤3)画图象略(2)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠B＝∠BAD，∴∠BAD＝∠C.又∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△BDA.11．⑴证△ABD≌△BCE(SAS)；∴∠BAP＝∠EBC,∴∠APE＝∠ABE+∠BAP＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°⑵运用30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PE＝2PF12．（1）CD=BE．理由如下:∵△ABC和△ADE为等边三角形∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o∵∠BAE=∠BAC－∠EAC=60o－∠EAC，∠DAC=∠DAE－∠EAC=60o－∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，∴△ABE≌△ACD6∴CD=BE（2）△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD．∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM=∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o∴△AMN是等边三角形．设AD=a，则AB=2a．∵AD=AE=DE，AB=AC，∴CE=DE．∵△ADE为等边三角形，∴∠DEC=120o，∠ADE=60o，∴∠EDC=∠ECD=30o，∴∠ADC=90o．∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30o，∴CD=．∵N为DC中点，∴，∴．∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB．∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN，∴∠MAB=∠NAC，∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60o∴△AMN是等边三角形设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a易证BE⊥AC，∴BE=，∴∴∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN教学过程教师活7动课堂练习课后作业学生成长记录本节课教学计划完成情况按时完成□提前完成□延后完成□____________________________学生的接受程度：54321______________________________学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般积极□不积极□___________________________学生上次作业完成情况：优□良□中□差□存在问题_____________________________学管师（班主任）_______________________________________________________________老师寄语签字时间班主任审批教学主任审批题目虽然简单，也要仔细呦！