2013版步步高高考数学考前3个月(上)专题复习配套限时规范训练专题五第三讲

第1页共6页第三讲直线与圆锥曲线（推荐时间：50分钟）一、选择题1．由椭圆x22＋y2＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则OA→·OB→等于()A．0B．1C．－13D．－32．设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B．5C.52D.53．经过点(3,0)的直线l与抛物线y＝x22相交，两个交点处的抛物线的切线相互垂直，则直线l的斜率k等于()A．－16B．－13C.12D．－124．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝22，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A.12B.14C.16D.185．若直线y＝x＋t与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，当t变化时，|AB|的最大值是()A．2B.455C.4105D.21056．(n)已知点M(3，0)，椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A、B，则△ABM的周长为()A．4B．8C．12D．167．过双曲线x2a2－y2b2＝1右焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为第2页共6页()A.3B.2C．2D.58．已知点F、A分别为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足FB→·AB→＝0，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.1＋32D.1＋52二、填空题9．斜率为3的直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与该抛物线交于A，B两点，则|AB|＝________.10．椭圆C：x216＋y29＝1及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)的位置关系是________．11．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积为________．12．(2012·湖北)如图，双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值S1S2＝________.三、解答题13．(2012·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝23，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程．(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．14．(2012·上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.第3页共6页(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．第4页共6页答案1．C2．D3．A4．A5．C6．B7．B8．D9.16310．相交11．6312．(1)5＋12(2)5＋2213．解(1)∵e2＝c2a2＝a2－b2a2＝23，∴a2＝3b2，∴椭圆方程为x23b2＋y2b2＝1，即x2＋3y2＝3b2.设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d，则d＝x－02＋y－22＝x2＋y－22＝3b2－3y2＋y－22＝－2y＋12＋3b2＋6，∴当y＝－1时，d取得最大值，dmax＝3b2＋6＝3，解得b2＝1，∴a2＝3.∴椭圆C的方程为x23＋y2＝1.(2)假设存在点M(m，n)满足题意，则m23＋n2＝1，即m2＝3－3n2.设圆心到直线l的距离为d′，则d′1，d′＝|m·0＋n·0－1|m2＋n2＝1m2＋n2.∴|AB|＝212－d′2＝21－1m2＋n2.∴S△OAB＝12|AB|d′＝12·21－1m2＋n2·1m2＋n2＝1m2＋n21－1m2＋n2.∵d′1，∴m2＋n21，∴01m2＋n21，∴1－1m2＋n20.∴S△OAB＝1m2＋n21－1m2＋n2≤1m2＋n2＋1－1m2＋n222＝12，当且仅当1m2＋n2＝1－1m2＋n2，即m2＋n2＝21时，S△OAB取得最大值12.由m2＋n2＝2，m2＝3－3n2第5页共6页得m2＝32，n2＝12，∴存在点M满足题意，M点坐标为62，22，62，－22，－62，22或－62，－22，此时△OAB的面积为12.14．(1)解双曲线C1：x212－y2＝1，左顶点A－22，0，渐近线方程：y＝±2x.不妨取过点A与渐近线y＝2x平行的直线方程为y＝2x＋22，即y＝2x＋1.解方程组y＝－2x，y＝2x＋1得x＝－24，y＝12.所以所求三角形的面积为S＝12|OA||y|＝28.(2)证明设直线PQ的方程是y＝x＋b.因为直线PQ与已知圆相切，故|b|2＝1，即b2＝2.由y＝x＋b，2x2－y2＝1得x2－2bx－b2－1＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2b，x1x2＝－1－b2.又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以OP→·OQ→＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)证明当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝22，则O到直线MN的距离为33.当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx显然|k|22，则直线OM的方程为y＝－1kx.由y＝kx，4x2＋y2＝1得x2＝14＋k2，y2＝k24＋k2，所以|ON|2＝1＋k24＋k2.同理|OM|2＝1＋k22k2－1.第6页共6页设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，所以1d2＝1|OM|2＋1|ON|2＝3k2＋3k2＋1＝3，即d＝33.综上，O到直线MN的距离是定值．