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第1页共6页第三讲空间向量与立体几何（推荐时间：50分钟）一、选择题1．已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,3)，且ka＋b与2a－b垂直，则k的值为()A.125B．1C.75D．22．以下命题中，不正确的命题个数为()①已知A、B、C、D是空间任意四点，则AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0；②若{a，b，c}为空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；③对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x，y，z∈R)，则P、A、B、C四点共面．A．0B．1C．2D．33．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若OA→＋OB→＋OC→＝λOG→，则λ的值为()A．1B．2C．3D．44．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°5.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝22，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A—BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值6.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝23a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()第2页共6页A．相交B．平行C．垂直D．不能确定7．S为正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分别为SC、AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则下面结论错误的为()A．AC⊥BDB．△ACD是等边三角形C．AB与平面BCD所成的角为60°D．AB与CD所成的角为60°二、填空题9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．10．已知2a＋b＝(0，－3，－10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________.11．已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为________．12.过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是________．三、解答题13.如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.14．(2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.第3页共6页(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．第4页共6页答案1．A2．B3．C4．C5．D6．B7．C8．C9.6610.π311.312．45°13．证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形．∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.(2)连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1MK⊥平面A1B1C.14．(1)证明∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.第5页共6页同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.(2)解方法一如图，设BD与AC交于点O，连接OE.∵PC⊥平面BDE，BE、OE⊂平面BDE.∴PC⊥BE，PC⊥OE.∴∠BEO即为二面角B－PC－A的平面角．由(1)知BD⊥平面PAC.又OE、AC⊂平面PAC，∴BD⊥OE，BD⊥AC.故矩形ABCD为正方形，∴BD＝AC＝22，BO＝12BD＝2.由PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD得PA⊥BC.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.而PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.在Rt△PAB中，PB＝PA2＋AB2＝5，在Rt△PAC中，PC＝PA2＋AC2＝3.在Rt△PBC中，由PB·BC＝PC·BE得BE＝253.在Rt△BOE中，OE＝BE2－BO2＝23.∴tan∠BEO＝BOOE＝3，即二面角B－PC－A的正切值为3.方法二如图，分别以射线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系．由(1)知BD⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.故矩形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．∴PB→＝(2,0，－1)，BC→＝(0,2,0)，BD→＝(－2,2,0)．设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，第6页共6页则n·PB→＝0，n·BC→＝0，即2·x＋0·y－z＝0，0·x＋2·y＋0·z＝0，∴z＝2x，y＝0，取x＝1得n＝(1,0,2)．∵BD⊥平面PAC，∴BD→＝(－2,2,0)为平面PAC的一个法向量．cos〈n，BD→〉＝n·BD→|n|·|BD→|＝－1010.设二面角B－PC－A的平面角为α，由图知0απ2，∴cosα＝1010，sinα＝1－cos2α＝31010.∴tanα＝sinαcosα＝3，即二面角B－PC－A的正切值为3.