2013版高三(理)一轮复习5.3等比数列及其前n项和

第1页共6页一、选择题(每小题6分，共36分)1.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2－a5＝0，则S4S2＝()(A)5(B)8(C)－8(D)152.(2012·中山模拟)已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，则等比数列{an}的公比q的值为()(A)14(B)12(C)2(D)83.(2012·保定模拟)等比数列{an}中，若a4a7＝1，a7a8＝16，则a6a7等于()(A)4(B)－4(C)±4(D)1724.设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()(A)152(B)314(C)334(D)1725.(易错题)若数列{an}满足2n12naa＝p(p为正常数，n∈N*)，则称{an}为“等方比数列”.甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则()(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件(B)甲是乙的充要条件(C)甲是乙的必要条件但不是充分条件(D)甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6.在公比q＜1的等比数列{an}中，a2a8＝6，a4＋a6＝5，则a5a7等于()(A)56(B)65(C)23(D)32二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·杭州模拟)已知等比数列{an}中，a2＝12，a3＝14，ak＝164，则k＝.8.等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝.9.已知函数f(x)＝2x＋3，数列{an}满足：a1＝1且an＋1＝f(an)(n∈N*)，则该数列的通项公式an＝.三、解答题(每小题15分，共30分)10.(预测题)在数列{an}中，a1＝－14,3an－an－1＝4n(n≥2，n∈N*).(1)求证：数列{an－2n＋1}是等比数列；第2页共6页(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.11.(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋54}是等比数列.【探究创新】(16分)设一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3(1)试用an表示an＋1；(2)求证：数列{an－23}是等比数列；(3)当a1＝76时，求数列{an}的通项公式.答案解析1.【解析】选A.∵8a2－a5＝0，∴8a1q＝a1q4，∴q3＝8，∴q＝2，∴S4S2＝1－q41－q2＝1＋q2＝5.2.【解析】选B.由a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，得a1(1＋q2)＝10，a1q3(1＋q2)＝54，两式相除，得q3＝18，∴q＝12.3.【解析】选A.∵a4a7＝1，a7a8＝16，∴q4＝16，∴q2＝4，∴a6a7＝a4a7q2＝4.4.【解析】选B.设公比为q(q＞0)，则q≠1，由题意知第3页共6页24121aq1a(1qq)7，即a1q2＝1a1(1＋q＋q2)＝7，解得a1＝4q＝12，∴S5＝4[1－(12)5]1－12＝314.5.【解析】选C.乙甲，但甲乙，如数列2,2，－2，－2，－2，是等方比数列，但不是等比数列.6.【解题指南】a5a7＝1q2，故只需求出q2即可，利用a2·a8＝a4·a6可先求出a4·a6再求q2.【解析】选D.∵a2a8＝a4a6＝6，a4＋a6＝5，∴a4，a6是方程x2－5x＋6＝0的两实根.又公比q＜1，∴a4＝3，a6＝2，∴q2＝23，∴a5a7＝1q2＝32.7.【解析】设公比为q.∵a2＝12，a3＝14，∴q＝a3a2＝12，ak＝(12)k－1＝164，解得k＝7.答案：78.【解析】∵an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an，∴q2＋q－6＝0，又q＞0，∴q＝2，由a2＝a1q＝1得a1＝12，∴S4＝12(1－24)1－2＝152.答案：1529.【解析】由题意知an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，第4页共6页∴数列{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，以2为公比的等比数列.∴an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.答案：2n＋1－3【方法技巧】构造等比数列求通项公式递推关系为an＋1＝qan＋b的数列，在求其通项公式时，可将an＋1＝qan＋b转化为an＋1＋a＝q(an＋a)的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即qan＋b＝an＋1＝qan＋(q－1)aa＝bq－1(q≠1).10.【解析】(1)∵3an－an－1＝4n(n≥2，n∈N*)，∴an＝13(an－1＋4n)，∴an＋1－2(n＋1)＋1＝13[an＋4(n＋1)]－2(n＋1)＋1＝13an－2n3＋13＝13(an－2n＋1)，由a1＝－14知：当n＝1时，a1－2×1＋1＝－15≠0∴{an－2n＋1}是以－15为首项，13为公比的等比数列.(2)∵an－2n＋1＝－15·(13)n－1，∴an＝－15·(13)n－1＋2n－1，当n≥2时，an－an－1＝2＋10·(13)n－2＞0，∴数列{an}是单调递增数列，∵a2＜0，a3＞0，∴当且仅当n＝2时，Sn取最小值，是S2＝a1＋a2＝－14＋(－2)＝－16.11.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意得，a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去).故{bn}的第3项为5，公比为2.第5页共6页由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为：bn＝54×2n－1＝5×2n－3.(2)数列{bn}的前n项和Sn＝54(1－2n)1－2＝5×2n－2－54，即Sn＋54＝5×2n－2，所以S1＋54＝52，n1n5S45S4＝n1n25252＝2.因此数列{Sn＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列.【探究创新】【解析】(1)∵一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，由根与系数的关系易得α＋β＝an＋1an，αβ＝1an，∵6α－2αβ＋6β＝3，∴6an＋1an－2an＝3，即an＋1＝12an＋13.(2)∵an＋1＝12an＋13，∴an＋1－23＝12(an－23)，当an－23≠0时，n1n2a32a3＝12，当an－23＝0，即an＝23时，此时一元二次方程为23x2－23x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0，Δ＝4－24＜0∴不合题意，即数列{an－23}是等比数列.(3)由(2)知：数列{an－23}是以a1－23＝76－23＝12为首项，公比为12的等比数列，∴an－23＝12×(12)n－1＝(12)n，第6页共6页即an＝(12)n＋23，∴数列{an}的通项公式是an＝(12)n＋23.