2013版高三新课标理科数学一轮复习单元评估检测第2章函数导数及其应用(附答案)

网通单元评估检测（二）（第二章）（120分钟150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()2.(2012·韶关模拟)已知函数f(x)＝ax3＋bx－3，若f(－2)＝7，则f(2)＝()(A)13(B)－13(C)7(D)－73.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()(A)f(x)＋|g(x)|是偶函数(B)f(x)－|g(x)|是奇函数(C)|f(x)|＋g(x)是偶函数(D)|f(x)|－g(x)是奇函数4.已知函数f(x)＝ax(a0，a≠1)是定义在R上的单调递减函数，则函数g(x)＝loga(x＋1)的图象大致是()(x)＝13x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)()(A)在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点(B)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点(C)在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点(D)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点6.(2012·珠海模拟)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()(A)y＝ax(B)y＝logax(C)y＝xex(D)y＝xlnx7.(易错题)设函数f(x)＝x·sinx，若x1，x2∈[－π2，π2]，且f(x1)＞f(x2)，则下列不等式恒成立的是()(A)x1＞x2(B)x1＜x2网通(C)x1＋x2＞0(D)x12＞x228.(2011·湖南高考)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()(A)[2－2，2＋2](B)(2－2，2＋2)(C)[1,3](D)(1,3)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2011·四川高考)计算(lg14－lg25)÷10012＝.10.定积分∫0ln2exdx的值为.11.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为.12.当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则实数a的取值范围为.13.函数f(x)＝(x＋a)3对任意t∈R，总有f(1＋t)＝－f(1－t)，则f(2)＋f(－2)等于.14.(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之网通对应；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数.其中的真命题是.(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(2012·广州模拟)设函数f(x)＝lg(2x＋1－1)的定义域为集合A，函数g(x)＝1－a2－2ax－x2的定义域为集合B.(1)求证：函数f(x)的图象关于原点成中心对称；(2)a≥2是A∩B＝的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)，并证明你的结论.16.(13分)两个二次函数f(x)＝x2＋bx＋c与g(x)＝－x2＋2x＋d的图象有唯一的公共点P(1，－2).(1)求b，c，d的值；(2)设F(x)＝(f(x)＋m)·g′(x)，若F(x)在R上是单调函数，求m的取值范围，并指出F(x)是单调递增函数，还是单调递减函数.17.(13分)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x－k)2exk.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k的取值范围.18.(14分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售(0x1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).(1)写出y与x的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19.(14分)已知幂函数f(x)＝2m2m3x－＋＋(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax3＋92x2－b(x∈R)，其中a，b∈R.若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围.20.(14分)(预测题)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝12x2－x＋a.(1)当a＝2时，求函数y＝g(x)在[0,3]上的值域；(2)求函数f(x)在[t，t＋2](t0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnxg′(x)＋1ex－2e成立.答案解析【解析】选C.由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A、B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.2.【解析】选B.∵f(－2)＝－a·23－2b－3＝－(a·23＋2b)－3＝7，∴a·23＋2b＝－10，∴f(2)＝a·23＋2b－3＝－10－3＝－13.3.【解析】选A.∵g(x)是奇函数，其图象关于原点对称，∴|g(x)|的图象关于y轴对称，是偶函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数.【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系(1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性；反之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性.(2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换，可以很容易地画出形如|f(x)|或f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性.4.【解题指南】由指数函数的单调性可得a的取值范围，再判断函数g(x)＝loga(x＋1)的图象.【解析】选D.由题可知0a1，函数g(x)的图象由函数y＝logax的图象向左平移一个单位得到，故选D.5.【解析】选D.∵f′(x)＝13－1x，∴x∈(3，＋∞)时，y＝f(x)单调递增；∈(0,3)时，y＝f(x)单调递减.而0＜1e＜1＜e＜3，又f(1e)＝13e＋1＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，∴在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点.【一题多解】选D.令g(x)＝13x，h(x)＝lnx，如图，作出g(x)与h(x)在x0的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(1e，1)内无交点，在(1，e)内有1个交点，故选D.【变式备选】已知函数f(x)＝4x－4，x≤1x2－4x＋3，x＞1，则关于x的方程f(x)＝log2x解的个数为()(A)4(B)3(C)2(D)1【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y＝f(x)与y＝log2x的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.【解析】选D.由图知，导函数的定义域为(0，＋∞)，∵(ax)′＝axlna，(xex)′＝ex＋xex，导函数的定义域为R，∴排除选项A，C.由图象知导函数的值是先负后正，又(logax)′＝1xlna，导函数的符号与参数a有关，排除B，故选D.7.【解析】选D.显然f(x)为偶函数，当x∈(0，π2]时，f′(x)＝sinx＋xcosx＞0，∴f(x)在(0，π2]上单调递增.又f(x1)＞f(x2)f(|x1|)＞f(|x2|)|x1|＞|x2|x12＞x22.8.【解析】选B.∵f(a)－1，∴g(b)－1，∴－b2＋4b－3－1，∴b2－4b＋20，∴2－2b2＋2.故选B.【解析】(lg14－lg25)÷12100＝lg1425÷1100＝lg1100÷110＝10×lg10－2＝－20.答案：－2010.【解析】∫0ln2exdx＝ex|0ln2＝eln2－e0＝2－1＝1.答案：111.【解析】y′＝1x＋a(x＋a)′＝1x＋a，设切点为(x0，x0＋1)，则1x0＋a＝1x0＋1＝ln(x0＋a)，解得a＝2.答案：212.【解析】设y1＝(x－1)2，则y1的图象如图所示：设y2＝logax，则当x∈(1,2)时，y2的图象应在y1的图象上方，∴a＞1且loga2≥(2－1)2＝1，∴a≤2，∴1＜a≤2.答案：{a|1＜a≤2}13.【解析】令t＝1，则f(2)＝－f(0).网通∴(2＋a)3＝－a3，∴a＝－1，∴f(2)＋f(－2)＝(2－1)3＋(－2－1)3＝－26.答案：－2614.【解析】选项具体分析结论①由x2＝4可得x1＝2，x2＝－2，则x1≠x2不合定义.假命题②“x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)”的逆否命题是“若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2”.互为逆否命题的两个命题等价.故②的逆否命题为真，故②为真命题.真命题③符合唯一的函数值对应唯一的自变量.真命题④在某一区间单调并不一定在定义域内单调.假命题答案：②③15.【解析】(1)A＝{x|2x＋1－10}，2x＋1－10x－1x＋10(x＋1)(x－1)0，∴－1x1.∴A＝(－1,1)，故f(x)的定义域关于原点对称.(x)＝lg1－xx＋1，则f(－x)＝lg1＋x－x＋1＝lg(1－xx＋1)－1＝－lg1－xx＋1，∴f(x)是奇函数.即函数f(x)的图象关于原点成中心对称.(2)B＝{x|x2＋2ax－1＋a2≤0}，得－1－a≤x≤1－a，即B＝[－1－a,1－a]，当a≥2时，－1－a≤－3,1－a≤－1，由A＝(－1,1)，B＝[－1－a,1－a]，有A∩B＝.反之，若A∩B＝，可取－a－1＝2，则a＝－3，a小于2.所以，a≥2是A∩B＝的充分不必要条件.16.【解题指南】(1)把点P的坐标代入两函数解析式，结合x2＋bx＋c＝－x2＋2x＋d有唯一解，可求得b，c，d，(2)若F(x)在R上是单调函数，则F′(x)在R上恒有F′(x)≥0或F′(x)≤0.【解析】(1)由已知得1＋b＋c＝－2－1＋2＋d＝－2，化简得b＋c＝－3d＝－3，且x2＋bx＋c＝－x2＋2x＋d，即2x2＋(b－2)x＋c－d＝0有唯一解，所以Δ＝(b－2)2－8(c－d)＝0，即b2－4b－8c－20＝0，消去c得b2＋4b＋4＝0，解得b＝－2，c＝－1，d＝－3.(2)由(1)知(x)＝x2－2x－1，g(x)＝－x2＋2x－3，故g