2013版高中全程复习方略课时提能训练2.11变化率与导数导数的应用(人教A版数学理)湖南专用

世纪金榜圆您梦想-1-温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。课时提能演练(十四)(45分钟100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.曲线y=xx2在点(-1,-1)处的切线方程为()(A)y=2x+1(B)y=2x-1(C)y=-2x-3(D)y=-2x-22.(2012·宿州模拟)若f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(0)等于()(A)2(B)0(C)-2(D)-43.y=sinx+tcosx在x=0处的切线方程为y=x+1，则t等于()(A)1(B)2(C)-1(D)04.(预测题)已知函数f(x)=xlnx.若直线l过点(0,-1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程为()(A)x+y-1=0(B)x-y-1=0(C)x+y+1=0(D)x-y+1=05.(2012·长沙模拟)若点P是曲线y＝x2-lnx上任一点，则点P到直线y＝x-2的最小距离为()(A)1(B)2(C)22(D)36.曲线y=1x2e在点A(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()世纪金榜圆您梦想-2-(A)29e2(B)4e2(C)2e2(D)e2二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·哈尔滨模拟)等比数列{an}中，a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为________.8.若函数f(x)=4lnx，点P(x,y)在曲线y=f′(x)上运动，作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM(O为坐标原点)的周长的最小值为________.9.函数y=f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得lny=g(x)lnf(x)，两边求导数得fxygxlnfxgxyfx，于是y′=f(x)g(x)[g′(x)lnf(x)+g(x)fxfx].运用此方法可以求得y=1xx(x＞0)的导数为________.三、解答题(每小题15分，共30分)10.已知函数f(x)满足如下条件：当x∈(-1,1]时，f(x)=ln(x+1)，且对任意x∈R，都有f(x+2)=2f(x)+1.(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程；(2)求当x∈(2k-1,2k+1]，k∈N*时，函数f(x)的解析式.11.(易错题)函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,且函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，求此时平行线的距离.【探究创新】(16分)已知曲线Cn：y=nx2，点Pn(xn,yn)(xn＞0,yn＞0)是曲线Cn上的点(n=1,2，…).(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；世纪金榜圆您梦想-3-(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn,yn).答案解析1.【解析】选A.因为y′=22x2，所以，在点(-1,-1)处的切线斜率k=y′|x=-1=2212=2，所以，切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1，故选A.2.【解题指南】对f(x)求导时要注意到f′(1)为常数，先求出f′(1)，再求f′(0).【解析】选D.f′(x)=2f′(1)+2x，∴令x=1，得f′(1)=-2，∴f′(0)=2f′(1)=-4.3.【解析】选A.∵y′=cosx-tsinx，当x=0时，y=t，y′=1，∴切线方程为y=x+t，比较可得t=1.4.【解析】选B.f′(x)=lnx+1，x＞0，设切点坐标为(x0,y0)，则y0=x0lnx0，切线的斜率为lnx0+1，所以lnx0+1=00y1x，解得x0=1，y0=0，所以直线l的方程为x-y-1=0.5.【解析】选B.由已知f′(x)=2x-1x,所求最小距离的点P也就是满足过点P的切线与y=x-2平行的点，设P(x0,y0),则0012x1x,则x0=1,-12(舍)，则点P(1,1)到直线y=x-2的距离为|112|d22.世纪金榜圆您梦想-4-6.【解析】选D.∵11xx221fx(e)e,2∴过点A的切线的斜率为k=21e2.故切线方程为221yexe2＝,切线与两坐标轴的交点分别为B(2，0)，C(0，-e2).∴三角形的面积S=12×2×e2=e2.7.【解析】f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)+x·(x-a2)(x-a3)…(x-a2012)+x(x-a1)(x-a3)…(x-a2012)+…+x(x-a1)(x-a2)…(x-a2011),∴f′(0)=(-a1)·(-a2)…(-a2012)=(a1a2012)1006=22012,∴切线方程为y=22012x.答案：y=22012x【变式备选】已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程.【解析】f′(x)=12x,g′(x)=ax(x＞0),由已知得：xalnx1ax2x，解得a=12e,x=e2.∴两条曲线交点的坐标为(e2,e)，切线的斜率为k=f′(e2)=12e,所以切线的方程为y-e=12e(x-e2),即x-2ey+e2=0.8.【解析】f′(x)=4x(x0)，∴P(x,4x)，M(x,0)，∴△POM的周长为x+4x+224x()24216422x世纪金榜圆您梦想-5-(当且仅当x=2时取得等号).答案：4229.【解析】对y=1xx(x＞0)两边取对数得lny=1xlnx，两边求导得2y1lnxyx，∴112xx21lnxyxx1lnxx（）.答案：y′=12xx1lnx（）10.【解析】(1)x∈(-1,1]时，f(x)=ln(x+1)，f′(x)=1x1，所以，函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f′(0)(x-0)，即y=x.(2)因为f(x+2)=2f(x)+1，所以，当x∈(2k-1,2k+1]，k∈N*时，x-2k∈(-1,1]，f(x)=2f(x-2)+1=22f(x-4)+2+1=23f(x-6)+22+2+1=…=2kf(x-2k)+2k-1+2k-2+…+2+1=2kln(x-2k+1)+2k-1.11.【解析】f′(x)=aex，g′(x)=1x，y=f(x)的图象与坐标轴的交点为(0,a)，y=g(x)的图象与坐标轴的交点为(a,0)，由题意得f′(0)=g′(a)，即a=1a.又∵a＞0，∴a=1.∴f(x)=ex，g(x)=lnx，∴函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0,x-y-1=0，∴两平行切线间的距离为2.【方法技巧】求曲线的切线方程：世纪金榜圆您梦想-6-求曲线的切线方程，一般有两种情况：(1)求曲线y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线，此时曲线斜率为f′(x0)，利用点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)；(2)求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线，此时需要设出切点A(xA,yA),表示出切线方程，再把P(x0,y0)的坐标代入切线方程，解得xA，进而写出切线方程.【变式备选】已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a＜b).(1)当a=1，b=2时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程.(2)设x1,x2是f′(x)=0的两个根，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后成等差数列，并求x4.【解析】(1)当a=1,b=2时，f(x)=(x-1)2(x-2),因为f′(x)=(x-1)(3x-5)，故f′(2)=1，f(2)=0,所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.(2)因为f′(x)=3(x-a)(x-a2b3)，由于ab，故aa2b3.所以f(x)的两个极值点为x=a,x=a2b3.不妨设x1=a，x2=a2b3，因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f(x)的零点，故x3=b.又因为a2b3-a=2(b-a2b3)，所以x1,x4,x2,x3成等差数列.所以x4=12(a+a2b3)=2ab3，所以存在实数x4满足题意，且x4=2ab3.世纪金榜圆您梦想-7-【探究创新】【解析】(1)∵y′=2nx,∴y′nxx|=2nxn,切线ln的方程为：y-n·2nx=2nxn(x-xn).即：2nxn·x-y-n·2nx=0,令x=0，得y=-n2nx,∴Qn(0,-n2nx).(2)设原点到ln的距离为d，则d=22nn222nnnxnx14nx2nx1,|PnQn|=222nnx2nx.所以nn22nnnnnxnxd1PQ14nx21|2nx|4，当且仅当1=4n22nx，即2nx=214n(xn＞0)时，等号成立，此时，xn=12n,所以，Pn(12n,14n).