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世纪金榜圆您梦想-1-温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。课时提能演练(六)(45分钟100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()(A)y=-x3,x∈R(B)y=sinx,x∈R(C)y=x,x∈R(D)y=(12)x,x∈R2.(2012·常德模拟)已知函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)＝x(1+x);当x0时，f(x)等于()(A)-x(1-x)(B)x(1-x)(C)-x(1+x)(D)x(1+x)3.f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)=()(A)-b+4(B)-b+2(C)b-4(D)b+24.函数y=lg(21x-1)的图象关于()(A)x轴成轴对称图形(B)y轴成轴对称图形(C)直线y=x成轴对称图形(D)原点成中心对称图形5.(预测题)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a0,a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，世纪金榜圆您梦想-2-则g(x)=loga(x+k)的图象是()6.已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)=f(x-1),若f(1)=2,则f(2013)的值为()(A)2(B)0(C)-2(D)±2二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·邵阳模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数，若方程2f(x)+1=0有五个不同的实根x1、x2、x3、x4、x5,则x1+x2+x3+x4+x5=_______.8.(2011·广东高考)设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=______.9.(易错题)设f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为_______.①f(4)=0;②f(x)是以4为周期的函数；③f(x)的图象关于x=1对称；④f(x)的图象关于x=2对称.三、解答题(每小题15分，共30分)10.设定义在［-2,2］上的奇函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(m)+f(m-1)0,求实数m的取值范围.11.(2012·珠海模拟)已知函数f(x)=a-12xb是偶函数，a为实常数.世纪金榜圆您梦想-3-(1)求b的值；(2)当a=1时，是否存在nm0,使得函数y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］，若存在，求出m,n的值，否则，说明理由.(3)若在函数定义域内总存在区间［m,n］(mn)，使得y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］,求实数a的取值范围.【探究创新】(16分)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x+l∈D，且f(x+l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.(1)如果定义域为［-1,+∞)的函数f(x)=x2为［-1,+∞)上的m高调函数，求实数m的取值范围.(2)如果定义域为R的函数f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=|x-a2|-a2，且f(x)为R上的4高调函数，求实数a的取值范围.世纪金榜圆您梦想-4-答案解析1.【解析】选A.在定义域内为奇函数的为A，B，C，又y=sinx在R上不单调，y=x在R上为增函数，故选A.2.【解析】选B.当x0时，则-x0，∵f(x)为奇函数，∴f(x)=-f(-x)=-[-x(1-x)]=x(1-x).3.【解析】选A.∵函数f(x),g(x)均为奇函数，∴f(a)+f(-a)=0,g(a)+g(-a)=0,∴F(a)+F(-a)=3f(a)+5g(a)+2+3f(-a)+5g(-a)+2=4,∴F(-a)=4-F(a)=4-b.4.【解题指南】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性，从而利用奇偶性判断其图象的对称性.【解析】选D.函数y=f(x)=lg(21x-1)=lg1x1x,∴函数y=f(x)的定义域为(-1,1),又∵f(-x)=lg1x1x=-lg1x1x=-f(x),∴y=lg(21x-1)为奇函数.∴其图象关于原点成中心对称图形.5.【解析】选A.因为f(x)=(k-1)ax-a-x(a0，a≠1)为R上的奇函数，∴f(0)=(k-1)-1=0,得k=2,∴f(x)=ax-a-x.又∵f(x)为R上的减函数，∴0a1.故g(x)=loga(x+k)=loga(x+2)的图象是由y=logax(0a1)的图象向左平移两个世纪金榜圆您梦想-5-单位而得到，故选A.6.【解题指南】解答本题可以先用已知条件探究出函数f(x)的周期性，再用周期性求f(2013)的值.【解析】选A.由g(x)=f(x-1),得g(-x)=f(-x-1),又g(x)为R上的奇函数，∴g(-x)=-g(x).∴f(-x-1)=-f(x-1),即f(x-1)=-f(-x-1).用x+1替换x,得f(x)=-f(-x-2),又f(x)是R上的偶函数，∴f(x)=-f(x+2).∴f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4.∴f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=2.7.【解析】∵f(x)是R上的偶函数，∴f(-x)=f(x).若x0是方程2f(x)+1=0的实根,则-x0也是方程2f(x)+1=0的实根.∴所求和值为0.答案：08.【解析】令g(x)=x3cosx,则f(x)=g(x)+1且g(x)为奇函数,所以g(-a)=-g(a).由f(a)=11得g(a)+1=11,所以g(a)=10,f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-10+1=-9.答案：-9世纪金榜圆您梦想-6-9.【解析】∵f(x+2)=-f(x)，∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4)，即f(x)的周期为4，②正确.∴f(4)=f(0)=0(∵f(x)为奇函数)，即①正确.又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),∴f(x)的图象关于x=1对称,∴③正确,又∵f(1)=-f(3),当f(1)≠0时，显然f(x)的图象不关于x=2对称，∴④错误.答案：①②③10.【解析】由f(m)+f(m-1)0,得f(m)-f(m-1),即f(1-m)f(m).又∵f(x)在［0,2］上单调递减且f(x)在［-2,2］上为奇函数,∴f(x)在［-2,2］上为减函数，∴21m22m2,1mm即1m32m2,1m2解得-1≤m12.【误区警示】本题易忽视m,1-m∈［-2,2］而致误.11.【解析】(1)由已知,可得f(x)=a-12xb的定义域为D=(-∞,b2)∪(b2,+∞).又y=f(x)是偶函数，故定义域D关于原点对称.于是，b=0.世纪金榜圆您梦想-7-又对任意x∈D,有f(x)=f(-x),可得b=0.因此所求实数b=0.(2)由(1)，可知f(x)=a-12x(D=(-∞,0)∪(0,+∞)).考察函数f(x)=a-12x的图象，可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数，又nm0,∴y=f(x)在区间［m,n］上是增函数.因y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］.∴有11m2m,11n2n即方程1-12x=x,也就是2x2-2x+1=0有两个不相等的正根.∵Δ=4-80,∴此方程无解.故不存在正实数m,n满足题意.(3)由(1)，可知f(x)=a-12x(D=(-∞,0)∪(0,+∞)).考察函数f(x)=a-12x的图象，可知:f(x)在区间(0,+∞)上是增函数，f(x)在区间(-∞,0)上是减函数.因y=f(x)在区间［m,n］上的函数值组成的集合也是［m,n］，故必有m、n同号.①当0mn时，f(x)在区间［m,n］上是增函数，有1am2m,1an2n即方程x=a-12x,也就是2x2-2ax+1=0有两个不相等的正实数根，因此2a0,4a80解得a2(此时，m、n(mn)取方程2x2-2ax+1=0的两根即可).世纪金榜圆您梦想-8-②当mn0时，f(x)在区间［m,n］上是减函数，有1an2m,1am2n化简得(m-n)a=0,解得a=0(此时，m、n(mn)的取值满足mn=12,且mn0即可).综上所述，所求实数a的取值范围是a=0或a2.【变式备选】已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.【解析】(1)∵f(x)=ex-(1e)x,且y=ex是增函数，y=-(1e)x是增函数，所以f(x)是增函数.由于f(x)的定义域为R，且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立⇔t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立⇔(t+12)2≤2min1(x)2⇔(t+12)2≤0⇔t=-12.即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.世纪金榜圆您梦想-9-【探究创新】【解析】(1)f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示，要使得f(-1+m)≥f(-1)，有m≥2；x≥-1时，恒有f(x+2)≥f(x)，故m≥2即可.所以实数m的取值范围为［2,+∞)；(2)由f(x)为奇函数及x≥0时的解析式知f(x)的图象如图(2)所示，∵f(3a2)=a2=f(-a2)，由f(-a2+4)≥f(-a2)=a2=f(3a2)，故-a2+4≥3a2，从而a2≤1，又a2≤1时，恒有f(x+4)≥f(x)，故a2≤1即可．所以实数a的取值范围为［-1,1］.