2013版高中数学(人教A版)选修2-1全册综合测试题(含详解)

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网本册综合测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p：2x－31，q：x2－3x0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析p：x2，q：0x3.∴pD⇒/q，qD⇒/p.∴p是q的既不充分也不必要条件．答案D2．抛物线y＝14x2的焦点坐标为()A．(116，0)B．(－116，0)C．(0,1)D．(0，－1)解析由y＝14x2，得x2＝4y，∴焦点坐标为(0,1)．答案C3．已知命题p：3是奇数，q：3不是质数．由它们构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题中真命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析命题p为真，q为假，∴“p∨q”为真，“p∧q”、“綈p”为假，故应选B.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网答案B4．双曲线x24＋y2k＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－3,0)C．(－12,0)D．(－60，－12)解析由x24＋y2k＝1表示双曲线知，k0，且a2＝4，b2＝－k，∴e2＝c2a2＝4－k4，∵1e2，∴14－k44.∴44－k16，∴－12k0.答案C5．下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x∈R，x2＋10”是全称命题；③若p：∃x∈R，x2＋2x＋1≤0，则綈p：∀x∈R，x2＋2x＋1≤0.A．0B．1C．2D．3解析①是全称命题，②是全称命题，③綈p：∀x∈R，x2＋2x＋10.∴①不正确，②正确，③不正确．答案B6．设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥α，n⊥α，则m⊥n.其中真命题的个数是()本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网A．1B．2C．3D．4解析①正确，②不正确，③正确，④正确．答案C7．已知a＝(m＋1,0,2m)，b＝(6,2n－1,2)，若a∥b，则m与n的值分别为()A.15，12B．5,2C．－15，－12D．－5，－2解析∵a∥b，∴a＝λb，∴m＋1＝6λ，0＝λ2n－1，2m＝2λ，解得m＝15，n＝12，λ＝15.∴m＝15，n＝12.答案A8．若双曲线x23－16y2p2＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为()A．2B．3C．4D．42解析设双曲线的焦距为2c，由双曲线方程知c2＝3＋p216，则其左焦点为(－3＋p216，0)．本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网由抛物线方程y2＝2px知其准线方程为x＝－p2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋p216＝p24，且p0，解得p＝4.答案C9．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.43B.32C.53D．2解析由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝8a3，|PF2|＝2a3.又|PF2|≥c－a，即2a3≥c－a.∴ca≤53.即e≤53.答案C10．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网∠ABC＝90°，点EF分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°解析建立空间直角坐标如图所示．设AB＝2，则EF→＝(0，－1,1)．BC1→＝(2,0,2)，∴cos〈EF→·BC1→〉＝EF→·BC1→|EF→||BC1→|＝28·2＝12，故EF与BC1所成的角为60°.答案B11．给出下列曲线，其中与直线y＝－2x－3有交点的所有曲线是()①4x＋2y－1＝0；②x2＋y2＝3；③x22＋y2＝1；④x22－y2＝1.A．①③B．②④本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网C．①②③D．②③④解析直线y＝－2x－3与4x＋2y－1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x＋y＋3＝0的距离d＝353.所以与②相交．把y＝－2x－3代入x22＋y2＝1，得x22＋4x2＋12x＋9＝1，即9x2＋24x＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D.答案D12．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1·k2等于()A．－12B.12C．－2D．2解析设直线l的方程为y＝k1(x＋2)，代入x2＋2y2＝2，得(1＋2k21)x2＋8k21x＋8k21－2＝0，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k211＋2k21，而y1＋y2＝k1(x1＋x2＋4)＝4k11＋2k21.∴k2＝y1＋y22x1＋x22＝－12k1，∴k1·k2＝－12.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．解析命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案任意一个三角形都有外接圆14．已知命题p：1≤x≤2，q：a≤x≤a＋2，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．解析“p是q的必要不充分条件”的逆否命题是“q是p的必要不充分条件”．∴{x|1≤x≤2}{x|a≤x≤a＋2}，∴0≤a≤1.答案0≤a≤115．已知直线l1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l2的一个方向向量为(x，y,6)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.答案－14816．如图在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面ABCD所成角的余弦值为________．解析由题意知，AC1＝22＋22＋1＝3，AC＝22＋22＝22，在Rt△AC1C中，cos∠C1AC＝ACAC1＝223.本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网答案223三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p：不等式|x－1|m－1的解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．解由|x－1|m－1的解集为R，知m－10，∴m1.即p：m1.又f(x)＝－(5－2m)x是减函数，∴5－2m1，即m2，即q：m2.若p真q假，则m1，m≥2，m不存在．若p假q真，则m≥1，m2，∴1≤m2.综上知，实数m的取值范围是[1,2)．18．(12分)求证：a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直的充要条件．证明充分性：当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直；当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－a2，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－1b，如果a＋2b＝0，那么k1k2＝(－a2)×(－1b)＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k1k2＝(－本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网a2)×(－1b)＝－1，所以a＋2b＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0，所以a＋2b＝0.综上可知，a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y＝－x22与过点M(0，－1)的直线l相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程．解显然直线l垂直于x轴不合题意，故设所求的直线方程为y＝kx－1，代入抛物线方程化简，得x2＋2kx－2＝0.由根的判别式Δ＝4k2＋8＝4(k2＋2)0，于是有k∈R.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，则y1x1＋y2x2＝1.①因为y1＝kx1－1，y2＝kx2－1，代入①，得2k－(1x1＋1x2)＝1.②又因为x1＋x2＝－2k，x1x2＝－2，代入②得k＝1.所以直线l的方程为y＝x－1.20．(12分)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|＝e(e为椭圆C的离心率)，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c由已知得本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3，所以椭圆C的方程为x216＋y27＝1.(2)设M(x，y)，P(x，y1)，其中x∈[－4,4]．由已知得x2＋y21x2＋y2＝e2.而e＝34，故16(x2＋y21)＝9(x2＋y2)．①由点P在椭圆C上得y21＝112－7x216，代入①式并化简得9y2＝112，所以点M的轨迹方程为y＝±473(－4≤x≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE.(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网世纪教育网--中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。版权所有@21世纪教育网(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．解(1)证明：由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1.又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1.而DE⊥AE，AA1∩AE＝A，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1.(2)如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA1＝2，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C1(0,1，2)，D(32，－12，2)．易知AB→＝(3，1,0)，