2013级高一数学综合测试题(十九)(必修四部分)

12013级高一数学综合测试题(十九)（必修四部分）姓名___________班级编号___________总分_______________一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知△ABC中，tanA＝－512，则cosA等于()A.1213B.513C．－513D．－12132．已知向量a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则实数k等于()A.12B．－2C．－7D．33．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于()A．－16B．－8C．8D．164．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sinαcosα等于()A.25B．－25C.25或－25D．－155．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为()A．y＝－4sinπ8x＋π4B．y＝4sinπ8x－π4C．y＝－4sinπ8x－π4D．y＝4sinπ8x＋π46．若|a|＝2cos15°,|b|＝4sin15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于()A.32B.3C．23D.127．把函数f(x)＝sin－2x＋π3的图象向右平移π3个单位可以得到函数g(x)的图象，则gπ4等于()A．－32B.32C．－1D．18．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于()A.23B.13C．－13D．－239．若2α＋β＝π，则y＝cosβ－6sinα的最大值和最小值分别是()A．7,5B．7，－112C．5，－112D．7，－510．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于()A．4B．6C．8D．122选择题答题卡题号12345678910答案二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．sin2010°＝________.12．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝12，1＋sinθ(θ为锐角)，且a∥b，则tanθ＝________.13．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量AB→在CD→上的投影为________．14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f(x)＝________.15．已知向量a＝(sin(α＋π6)，1)，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sin(α＋4π3)＝________.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量a＝(sinx，32)，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求2cos2x－sin2x的值；(2)求f(x)＝(a＋b)·b在[－π2，0]上的最大值．17．设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.318．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cosφ，0φπ2，求cosφ的值．19．已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π16]上的最小值．420.已知函数f(x)＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.(1)求f(－11π12)的值；(2)当x∈[0，π4)时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．21．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0απ2，－π2β0，且sinβ＝－513，求sinα.52013级高一数学综合测试题(十九)参考答案（必修四部分）一、选择题：题号12345678910答案DDDBABDADB二、填空题：11.－1212.113.210514.sin(πx2＋π6)15.－14三、解答题:16．(1)2cos2x－sin2x＝2013(2)f(x)max＝1217．(1)解因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)解由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得|b＋c|＝sinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sinβ2＝17－15sin2β≤42.又当β＝－π4＋kπ(k∈Z)时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.(3)证明由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ，所以a∥b.18．解(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝15，∴sin2θ＝45.又θ∈(0，π2)，∴sinθ＝255，cosθ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝5cosφ＋25sinφ＝35cosφ，∴cosφ＝sinφ.∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝12.又∵0φπ2，∴cosφ＝22.619．解(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx，所以f(x)＝sinωxcosωx＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx＋12cos2ωx＋12＝22sin2ωx＋π4＋12.由于ω0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝22sin2x＋π4＋12，所以g(x)＝f(2x)＝22sin4x＋π4＋12.当0≤x≤π16时，π4≤4x＋π4≤π2，所以22≤sin4x＋π4≤1.因此1≤g(x)≤1＋22.故g(x)在区间0，π16上的最小值为1.20．解(1)f(x)＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，∴f(－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cosπ6＝3.(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋π4)．∵x∈[0，π4)，∴2x＋π4∈[π4，3π4)．∴当x＝π8时，g(x)max＝2，当x＝0时，g(x)min＝1.21．解(1)∵|a|＝1，|b|＝1，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1＋1－2cos(α－β)＝2－2cos(α－β)，|a－b|2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵－π2β0απ2，∴0α－βπ.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sinβ＝－513得cosβ＝1213.∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×1213＋35×(－513)＝3365.