2013级高二数学综合测试题(八)(选修2-3第二章)

12013级高二数学综合测试题（八）(选修2-1第二章）姓名班级分数一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．方程x2sinθ－1＋y22sinθ＋3＝1所表示的曲线是(D)A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线2．双曲线3mx2－my2＝3的一个焦点是(0,2)，则m的值是(A)A．－1B．1C．－1020D.1023．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(D)A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(12，1)D．(0,1)4．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x只有一个公共点，则k的值为(C)A．1B．0C．1或0D．1或35．已知曲线x2a＋y2b＝1和直线ax＋by＋1＝0(a，b为非零实数)在同一坐标系中，它们的图象可能为(C)A．B．C．D.6．已知F是抛物线y＝14x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(C)A．x2＝y－12B．x2＝2y－116C．x2＝2y－1D．x2＝2y－27．“mn0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．如图正方体A1B1C1D1－ABCD的侧面AB1内有动点P到直线AB与到直线B1C1的距离2相等，则动点P所在的曲线的形状为(C)9．设F1和F2是双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为(A)A．1B.52C．2D.510．从椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(C)A.24B.12C.22D.32答题卡二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.）11．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为________________．y＝±12x12．设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程为________．x22＋y2＝113．设F1,F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．314．过抛物线y2＝4x的焦点，作倾斜角为3π4的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于__________．2215．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△题号12345678910答案3POF的面积为__________．23三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）16．(12分)求与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为55的椭圆的标准方程．解把方程4x2＋9y2＝36写成x29＋y24＝1，则其焦距2c＝25，∴c＝5.又e＝ca＝55，∴a＝5.b2＝a2－c2＝52－5＝20，故所求椭圆的方程为x225＋y220＝1，或y225＋x220＝1.17．(12分)已知直线x＋y－1＝0与椭圆x2＋by2＝34相交于两个不同点,求实数b的取值范围．解由x＋y－1＝0，x2＋by2＝34，得(4b＋4)y2－8y＋1＝0.因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以4b＋4≠0Δ＝64－44b＋4＞0，解得b＜3，且b≠－1.又方程x2＋by2＝34表示椭圆，所以b＞0，且b≠1.综上，实数b的取值范围是{b|0＜b＜3且b≠1}．18．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．解设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，依题意c＝7，∴方程可以化为x2a2－y27－a2＝1，由x2a2－y27－a2＝1，y＝x－1，得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.4设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2a27－2a2，∵x1＋x22＝－23，∴－a27－2a2＝－23，解得a2＝2.∴双曲线的方程为x22－y25＝1.19．(12分)如图线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A，B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线．(1)求抛物线方程；(2)若OBOA＝－1，求m的值．解(1)设直线AB为y＝k(x－m)，抛物线方程为y2＝2px.由y＝kx－m，y2＝2px，消去x，得ky2－2py－2pkm＝0.∴y1·y2＝－2pm.又∵y1·y2＝－2m，∴p＝1，∴抛物线方程为y2＝2x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA→＝(x1，y1)，OB→＝(x2，y2)．则OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝y21y224＋y1y2＝m2－2m.又OA→·OB→＝－1，∴m2－2m＝－1，解得m＝1.520．(13分)已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．21．(14分)如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°.曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E，F.若△OEF的面积不小于22，求直线l斜率的取值范围．解(1)以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(3，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝2＋32＋12－2－32＋12＝22|AB|＝4，∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线．设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2,2a＝22，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.∴曲线C的方程为x22－y22＝1.(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理得(1－k2)x2－4kx－6＝0.①∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，6∴1－k2≠0，Δ＝－4k2＋4×61－k20⇒k≠±1，－3k3.∴k∈(－3，－1)∪(－1,1)∪(1，3)．②设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得x1＋x2＝4k1－k2，x1x2＝－61－k2，于是|EF|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2x1－x22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·223－k2|1－k2|.而原点O到直线l的距离d＝21＋k2，∴S△OEF＝12d·|EF|＝12·21＋k2·1＋k2·223－k2|1－k2|＝223－k2|1－k2|.若△OEF面积不小于22，即S△OEF≥22，则有223－k2|1－k2|≥22⇔k4－k2－2≤0，解得－2≤k≤2.③综合②③知，直线l的斜率的取值范围为[－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2]．