2013级高等数学(2-2)课程期中试卷参考答案

重庆大学试卷教务处07版第1页共4页重庆大学2013级《高等数学（II-2）》期中试卷参考答案一．单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设有平面1:260xyz与平面2:250xyz，则1与2的夹角为（C）（A）6（B）4（C）3（D）2（2）设有直线34:273xyzL及平面:42230xyz，则直线L（A）（A）平行于（B）在上（C）垂直于（D）与斜交（3）二元函数(,)fxy在00(,)xy处两个偏导数(,)xyfxy，(,)yxfxy连续是0000(,),xyyxfxyfxy的（A）（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要（4）二元函数22221sin(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyxyfxyxy在点(0,0)处（D）（A）连续，偏导数不存在（B）偏导数存在，不可微（C）偏导数连续（D）偏导数不连续，可微（5）心形线1cosa，(0)a所围成的面积为（B）（A）32a（B）232a（C）34a（D）234a二．填空题（每空4分，共24分）（1）已知函数()yyx在任意点x处的增量21yxyx，且当0x时，是x的高阶无穷小，(0)y，则(1)y等于4e。（2）设sinxxuey则2uxy在点1(2,)处的值为222(1)e。（3）曲面3zezxy在(2,1,0)的法线方程为21120xyz。（4）设2222(,,)fxyzxyz，则gradf322222()()xiyjzkxyz。（5）已知三角形ABC的顶点分别为(1,2,3)A，(3,4,5)B，(2,4,7)C。则三角形ABC的面积14。（6）由曲线2232120xyz绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为.23(0,,)1015。三．计算题（每小题8分，共40分）1．求阿基米德螺线a，(0)a相应于从0到2一段弧的长度。解：弧长元素222222()()1dsdaadad，2201Sad，命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密重庆大学试卷教务处07版第2页共4页2222222111111dddd，222111ln122dC，222011ln12Sa22112ln2122a。2．求极限222222222(,)(0,0)limsinxyxyxyxyxy解：222222222222223221sin3!xyxyxyxyxyxyxy22(,)(0,0)2211066xyxyxyxy，222222222(,)(0,0)lim0sinxyxyxyxyxy3.求由方程组222222320zxyxyz所确定的()yx，()zx的导数。解：视()yx，()zx为x的可导函数，222460dzdyxydxdxdydzxyzdxdx，变形为2322dydzyzxdxdxdydzyxdxdx，有：31dzxdxz，有：(16)2(31)dyxzdxyz。4设(2,sin)zfxyyx，其中(,)fuv具有连续的二阶偏导数，求2zxy.解：122coszfyxfx，21112221222(sin)coscos(sin)zfxfxfyxfxfxy5.求直线(0)xbbcbyzc绕z轴旋转所得的旋转面的方程，它代表什么曲面？解：设(,,)Pxyz为旋转面上任一点，111(,,)Pbyz为直线上对应的点。则重庆大学试卷教务处07版第3页共4页11122221zzbyzcbyxy，故所求旋转面方程为222222bxyzbc，它是单叶双曲面。四．证明题（第1小题8分，第2小题6分，共14分）1.设函数22224220(,)00xyxyxyfxyxy，证明(,)fxy在(0,0)处沿任一方向(cos,sin)le的方向导数都存在，但在(0,0)处不可微。证：当cos0时，(cos,sin)0ftt。(0,0)0(cos,sin)(0,0)lim00tffttflt当cos0时，(0,0)0(cos,sin)(0,0)lim0tffttflt222240cossinsinlimcossincostt又244001lim(,)lim(0,0)22yxyyfxyfy，(,)fxy在(0,0)不连续，故(,)fxy在(0,0)不可微。2.设222{,|}xyxyR,(,)ufxy在内可微,且满足0ffxyxy。求证:(,)ufxy在内恒为常数。证:令02222(,)0,,(cos,cos)xylxylxyxy(cos,sin)，则0221(,)()0ffffflxylxyxyxy。对任一方向(径向)0(cos,sin),cos,sinlxtyt，0,(,)txy,则(,)(cos,sin)ufxyftt为t的一元可微函数,且22cossin1cossin()0xtytdfffffxydtxyxyxy，(cos,sin)(0,0)0(0)tdffttfttdt，故(cos,sin)(0,0)fttf，即(,)fxy在每一条从圆心出发的射线上,满足(,)(0,0)fxyf。故(,)xy，(,)(0,0)fxyfC，即(,)fxy在内恒为常数。重庆大学试卷教务处07版第4页共4页五、应用题（7分）一架飞机以常速v在16千公尺高空飞行，在飞经地面导弹基地上空时基地发射导弹，导弹始终瞄准飞机，设导弹飞行速度为v2。（1）建立微分方程（2）写出初始条件（3）求导弹的飞行轨迹。解：（1）建立如图所示的坐标系，设(,,)Pxyz为导弹飞行轨迹上任一点，则该曲线在点(,,)Pxyz的切线方程为'()YyyXx令0X，得'Yyxy，由题设知2161'2(')xydtyxy对x求导，得微分方程为22''1'xyy①（2）初始条件为16160'0xxyy（3）令',yp则''dpydx，代入①得221dpxpdx即221dpdxxp积分得21ln(1)lnlnppxC所以111122dypCxdxCx再积分得3122121113yCxxCC将初始条件代入得12132,43CC故导弹的飞行轨迹方程为31221324123yxx