2015年高三文科导数专题一

1/52015-2016学年东莞一中高三文科数学导数复习（一）一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)在x＝1处的导数为1，则f1－x－f1＋x3x的值为()A．3B．－32C.13D．－232．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式可以为()A．f(x)＝x4B．f(x)＝x4＋1C．f(x)＝x4－2D．f(x)＝－x43．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．4B．－14C．2D．－124．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形面积为()A.13B.12C.23D．15．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是()A．y＝2－3x2B．y＝lnxC．y＝1x－2D．y＝sinx6．如图，抛物线的方程是y＝x2－1，则阴影部分的面积是()[来源:学§科§网]A.02(x2－1)dxB．|02(x2－1)dx|C.02|x2－1|dxD.01(x2－1)dx－12(x2－1)dx7．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则f(x)的极值情况为()A．极大值427，极小值0B．极大值0，极小值427C．极大值0，极小值－427D．极大值－427，极小值08．已知曲线方程f(x)＝sin2x＋2ax(a∈R)，若对任意实数m，直线l：x＋y＋m＝0都不是曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(－1,0)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1,0)∪(0，＋∞)D．a∈R且a≠0，a≠－19．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)恒不为0，当x＜0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0，且f(3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)[来源:Zxxk.Com]B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)10.函数f(x)＝axm(1－x)n在区间[0,1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是()A．m＝1，n＝1[来源:学科网]B．m＝1，n＝2C．m＝2，n＝1D．m＝3，n＝1二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为________．12.121xx＋1dx＝________.13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为________．14.如图所示，A1，A2，…，Am－1(m≥2)将区间[0,1]m等分，直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝ex所围成的区域为Ω1，图中m个矩形构成的阴影区域为Ω2.在Ω1中任取一点，则该点取自Ω2的概率等于________．15．若以曲线y＝f(x)任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N(x1，y1)，以点N为切点作切线l1，且l∥l1，则称曲线y＝f(x)具有“可平行性”．下列曲线具有可平行性的编号为________．(写出所有满足条件的函数的编号)①y＝x3－x②y＝x＋1x③y＝sinx④y＝(x－2)2＋lnx三、解答题(本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．17．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．2/518．设曲线f(x)＝x2＋1和g(x)＝x3＋x在其交点处两切线的夹角为θ，求cosθ.19．设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax(a0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．20．设函数f(x)＝aex＋1aex＋b(a＞0)．(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．21．已知函数2()(22)xfxeaxx，aR且0a.[来源:Zxxk.Com]⑴若曲线()yfx在点(2,(2))Pf处的切线垂直于y轴，求实数a的值；⑵当0a时，求函数(|sin|)fx的最小值；⑶在⑴的条件下，若ykx与()yfx的图像存在三个交点，求k的取值范围.3/52015-2016学年东莞一中高三文科数学导数复习（一）参考答案1、解析：选D.由题意知f′(1)＝f1＋x－f1x＝1，∴f1－x－f1＋x3x＝13f1－x－f1－[f1＋x－f1]x[来源:Zxxk.Com]＝13[－f′(1)－f′(1)]＝－23.2、解析：选C.由f′(x)＝4x3，可设f(x)＝x4＋c(c为常数)，由f(1)＝－1得－1＝1＋c，∴c＝－2.3、解析：选A.由已知g′(1)＝2，而f′(x)＝g′(x)＋2x，所以f′(1)＝g′(1)＋2×1＝4，故选A.4、解析：选A.y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2，点(0,2)处的切线方程为y－2＝－2x.令y＝0得x＝1.由y－2＝－2xy＝x得x＝23，y＝23，∴S＝12×23×1＝13.5、解析：选C.对于函数y＝1x－2，其导数y′＝－1x－22＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝1x－2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求．6、解析：选C.由图形可知阴影部分的面积为：01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx.而02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx.故选C.7、解析：选A.f′(x)＝3x2－2px－q.根据题意，得f1＝0，f′1＝0.则1－p－q＝0，3－2p－q＝0，∴p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0，得x＝13或x＝1.通过分析得，当x＝13时，y取极大值427；当x＝1时，y取极小值0.8、解析：选B.若存在实数m，使直线l是曲线y＝f(x)的切线，∵f′(x)＝2sinxcosx＋2a＝sin2x＋2a，∴方程sin2x＋2a＝－1有解，∴－1≤a≤0，故所求a的取值范围是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，选B.9、解析：选D.令F(x)＝fxgx，则F(x)为奇函数，F′(x)＝f′xgx－fxg′xg2x.∵当x＜0时，F′(x)＞0.[来源:学科网ZXXK]∴F(x)在区间(－∞，0)上为增函数．又F(3)＝f3g3＝0，∴F(－3)＝0.∴当x＜－3时，F(x)＜0；当－3＜x＜0时，F(x)＞0.又F(x)为奇函数，∴当0＜x＜3时，F(x)＜0；当x＞3时，F(x)＞0.而不等式f(x)g(x)＜0和fxgx＜0为同解不等式(g(x)恒不为0)，∴不等式f(x)g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．10、解析：选B.观察图象易知，a0，f(x)在[0,1]上先增后减，但在0，12上有增有减且不对称．对于选项A，m＝1，n＝1时，f(x)＝ax(1－x)是二次函数，图象应关于直线x＝12对称，不符合题意．对于选项B，m＝1，n＝2时，f(x)＝ax(1－x)2＝a(x3－2x2＋x)，f′(x)＝a(3x2－4x＋1)＝a(x－1)(3x－1)，令f′(x)≥0，得x≥1或x≤13，∴f(x)在0，13上单调递增，符合题意，选B.对于选项C，m＝2，n＝1时，f(x)＝ax2(1－x)＝a(x2－x3)，f′(x)＝a(2x－3x2)＝ax(2－3x)，令f′(x)≥0，得0≤x≤23，∴f(x)在0，23上单调递增，不符合题意．对于选项D，m＝3，n＝1时，f(x)＝ax3(1－x)＝a(x3－x4)，f′(x)＝a(3x2－4x3)＝ax2(3－4x)，令f′(x)≥0，得0≤x≤34，11、解析：f(x)＝f(－x)⇒f′(x)＝－f′(－x)⇒y＝f′(x)为奇函数，故f′(0)＝0.又f(x)＝f(x＋5)⇒f′(x)＝f′(x＋5)⇒y＝f′(x)为周期函数，周期为5.[来源:学科网]由于f′(0)＝0，从而f′(5)＝0.答案：012、解析：f(x)＝1xx＋1＝1x－1x＋1，取F(x)＝lnx－ln(x＋1)＝lnxx＋1，则F′(x)＝1x－1x＋1，所以121xx＋1dx＝121x－1x＋1dx＝＝ln43.答案：ln4313、解析：f′(x)＝2ax＋b，有f′(0)＞0⇒b＞0.由于对于任意实数x都有f(x)≥0，从而a＞0，Δ＝b2－4ac≤0，4/5得c＞0，从而f1f′0＝a＋b＋cb＝1＋a＋cb≥1＋a＋c2ac≥1＋2ac2ac＝2，当且仅当a＝c时取等号．答案：214、解析：依题意，阴影区域Ω2的面积为SΩ2＝1m(1＋e1m＋e2m＋…＋em－1m)＝1m·；区域Ω1的面积为：SΩ1＝01exdx＝e－1，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率答案：15、解析：由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x值，总存在x1(x1≠x)使得f′(x1)＝f′(x)．对于①，由f′(x1)＝f′(x)可得x21＝x2，但当x＝0时不符合题意，故不具有可平行性；对于②，由f′(x1)＝f′(x)可得1x21＝1x2，此时对于定义域内的任意一个x值，总存在x1＝－x，使得f′(x1)＝f′(x)；对于③，由f′(x1)＝f′(x)可得cosx1＝cosx，∃x1＝x＋2kπ(k∈Z)，使得f′(x1)＝f′(x)；对于④，由f′(x1)＝f′(x)可得2(x1－2)＋1x1＝2(x－2)＋1x，整理得x1x＝12，但当x＝22时不符合题意，综上，答案为②③.答案：②③三、解答题：16、解：作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．由xy＝1y＝3得x＝13y＝3，故A(13，3)；由xy＝1y＝x得x＝1y＝1或x＝－1y＝－1(舍去)，故B(1,1)；由y＝xy＝3得x＝3y＝3，故C(3,3)．17、解：∵f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，∴f′－1＝0，f－1＝0，即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0，解得a＝1，b＝3，或a＝2，b＝9.当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，∴f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数；∴f(x)在x＝－1时取得极小值．∴a＝2，b＝9.18、解：由y＝x2＋1，y＝x3＋x，得x3－x2＋x－1＝0，即(x－1)(x2＋1)＝0，∴x＝1，∴交点为(1,2)．又f′(x)＝2x，∴f′(1)＝2，∴曲线y＝f(x)在交点处的切线l1的方程为[来源:学科网ZXXK]y－2＝2(x－1)，即y＝2x，又g′(x)＝3x2＋1.∴g′(1)＝4.∴曲线y＝g(x)在交点处的切线l2的方程为y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2.取切线l1的方向向量为a＝(1,2)，切线l2的方向向量为[来源:Zxxk.Com]b＝(1,4)，则co