2015年高中数学联赛及自主招生考试培优专题不等式六(0212)学生

2015年高中数学联赛及自主招生考试培优专题第五讲琴生不等式1．琴生不等式凸函数的定义：设连续函数()fx的定义域为,ab，对于区间,ab内任意两点12,xx，都有1212()()()22xxfxfxf，则称()fx为,ab上的下凸（凸）函数；反之，若有1212()()()22xxfxfxf，则称()fx为,ab上的上凸（凹）函数。琴生(Jensen)不等式（1905年提出）：若()fx为,ab上的下凸（凸）函数，则1212()()()()nnxxxfxfxfxfnn（想象n边形的重心在图象的上方，n个点重合时“n边形”的重心在图象上）琴生(Jensen)不等式证明：1）2n时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设nk时命题成立，即1212()()()()kkxxxfxfxfxfkk那么当1nk时，设12111kkxxxAk，1211111(1)(1)(1)()()()22kkkkkkxxxxkAkAkAkkfAffk11111()(1)()(1)()11[()()][]22kikkikkkfxxkAfxkfAfAfkkk所以112112()()()()()(1)()kkkkkfAfxfxfxfxkfA所以1121(1)()()()()()kkkkfAfxfxfxfx。由1)，2)知，原不等式成立。2．加权平均琴生(Jensen)不等式：若()fx为,ab上的下凸（凸）函数，且11,0niii，则11(()()nniiiiiifxfx。3．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,()0fx，则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,()0fx，则y=f(x)在I内是上凸的。4．幂平均不等式：若，且0,0，0ix，则1111()()nniiiixxnn．由幂平均不等式得333222333abcabc【例题精析】例1．设0ix(1,2,,)in，11niix，求证：1212121111nnnxxxxxxxxxn例2．已知,,0abc，1abc，求证：11113abcabc例3．应用琴生(Jensen)不等式证明幂平均不等式：若，且0,0，0ix，则1111()()nniiiixxnn例4．应用琴生(Jensen)不等式证明赫尔德（Holder）不等式：,(1)iiabin是2n个正实数，,0,1，则11221212()()nnnnabababaaabbb【课堂习题】1．在圆内接n边形中，试证明正n边形的面积最大。2．设2m是实数，则在ABC中，有tantantan3tan3ABCmmmm3．设0,0ab，且1ab，求证：22115ab4．已知函数()lngxxx，0ab，证明：()()2()02abgagbg5．已知,,0xyz，且1xyz，求证：322211128()()()()3xyzxyz6．若0ix，且12100nxxx，求证：121010nxxxn7．已知,,0xyz，且12xyz。求证：3641414110yxzxyz【课后习题】A组1．(2007，复旦)给定正整数n和正常数a，对于满足不等式2211naaa的所有等差数列na，和式211niina的最大值为()A.1012anB.102anC.512anD.52an2．(2009，交大)已知不等式组22125,37252xaxxax有唯一解，则_____________a。3．(2009，清华)已知,,0,,,xyzabc是,,xyz的一个排列。求证：3abcxyz。4.(2008，科大)正数,,abc满足1abc，求222111()()()abcabc的最小值。5.(2008，浙大)设0,0ab，求证：11121()()22nknakbnabab。6.(2008，南开)设,N,2mnmn，证明：21214mnn。7.(2000，交大)已知正数数列{}na对于大于1的n，有1131,22nniiiinana，试证：12,,,naaa中至少有一个小于1.8.(2008，浙大)在△ABC中，证明：2coscos4sin.2aABCbc9．(2009，北大)已知对Rx，coscos21axbx恒成立，求max()ab。10.(2012，清华)在AOB内(含边界)，其中O为原点，A在y轴正半轴上，B在x轴正半轴上，且2OAOB。(1)用方程表示AOB的区域；(2)求证：在AOB内的任意11个点，总可以分成两组，其中一组的横坐标之和不大于6，另一组的纵坐标之和不大于6。11.(2014，北约)已知0,1,2,,ixin，11niix，求证：1221nniix。12.(2014，华约)已知*N,nxn，求证：21nxxnnexn。【课后习题】B组1、（2001一试6）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）．Ａ．2枝玫瑰价格高Ｂ．3枝康乃馨价格高Ｃ．价格相同Ｄ．不确定2、（2003一试5）已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是（）(A)85(B)2411(C)127(D)1253、（2004一试3）不等式log2x－1+12log12x3+20的解集为（）A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)D．(2，4][来4、（2005一试1）使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是（）A．63B．3C．63D．65、（2006一试2）设2log(21)log21xxxx，则x的取值范围为（）A．112xB．1,12xx且C．1xD．01x6、（2007一试2）设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）A.]31,31[B.]21,21[C.]31,41[D.[−3，3]7、（2001一试10）不等式232log121x的解集为。8、（2009一试4）使不等式1111200712213annn对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为．9、（2011一试3）设ba,为正实数，2211ba，32)(4)(abba，则balog．[来10、（2012一试3）设,,[0,1]xyz，则||||||Mxyyzzx的最大值是.11、（2003一试13）设32≤x≤5，证明不等式2x+1+2x－3+15－3x219．12、（2008一试14）解不等式121086422log(3531)1log(1)xxxxx．13、（2009一试11）求函数2713yxxx的最大和最小值．14、（2009二试2）求证不等式：2111ln12nkknk≤，1n，2，…15.（2013一试9）给定正数数列nx满足12,2,3,,nnSSn其中nS为前n项的和。证明：存在常数0C，使得2,1,2,nnxCn16、（2014二试1）设,,R,1,0abcabcabc，求证：124abcabbcca。