2015年高考全国卷一理数

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设复数z满足1+z1z＝i，则|z|＝(A)1(B)2(C)3(D)2(2)sin20°cos10°－con160°sin10°＝(A)32(B)32(C)12(D)12(3)设命题P：nN，2n2n，则P为(A)nN，2n2n(B)nN，2n≤2n(C)nN，2n≤2n(D)nN，2n＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A)0.648(B)0.432(C)0.36(D)0.312(5)已知M(x0，y0)是双曲线C：2212xy上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若12MFMF＜0，则y0的取值范围是(A)(－33，33)(B)(－36，36)(C)(223，223)(D)(233，233)(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)66斛(7)设D为ABC所在平面内一点3BCCD，则(A)1433ADABAC(B)1433ADABAC(C)4133ADABAC(D)4133ADABAC(8)函数f(x)＝的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(A)()，k(b)()，k(C)()，k(D)()，k(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(A)5(B)6(C)7(D)8（10）25()xxy的展开式中，52xy的系数为(A)10(B)20(C)30(D)602rr正视图正视图（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，（12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的（13）表面积为16＋20，则r＝(A)1(B)2(C)4(D)812.设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是()A.[32e，1)B.[33,24e)C.[33,24e)D.[32e，1)第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)若函数f(x)＝xln(x＋2ax)为偶函数，则a＝(14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为.(15)若x，y满足约束条件10040xxyxy，则yx的最大值为.(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)Sn为数列{an}的前n项和.已知an0，(Ⅰ)求{an}的通项公式：(Ⅱ)设，求数列}的前n项和(18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.ABCFEDxyw11x(x1－x)211x(w1－w)211x(x1－x)(y－y)11x(w1－w)(y－y)46.656.36.8289.81.61469108.8表中w1＝x1，，w＝18111xw(Ⅰ)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（i）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u1v1)，(u2v2)……..(unvn)，其回归线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niiiniiuuvvvuuu(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝24x与直线y＝kx＋a(a0)交于M，N两点，(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝31,()ln4xaxgxx(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；(Ⅱ)用min,mn表示m，n中的最小值，设函数()min(),()(0)hxfxgxx，讨论h(x)零点的个数请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.CDE年宣传费(千元)年销售量/t(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，AB是☉O的直径，AC是☉O的切线，BC交☉O于点E（I）若D为AC的中点，证明：DE是☉O的切线；（II）若OA＝3CE，求∠ACB的大小.(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中.直线1C:x＝－2，圆2C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求1C，2C的极坐标方程；（II）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M，N，求△C2MN的面积(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围2a243nnnaS2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案A卷选择题答案一、选择题（1）A（2）D（3）C（4）A（5）A（6）B（7）A（8）D（9）C（10）C（11）B（12）DA、B卷非选择题答案二、填空题（13）1（14）22325()24xy（15）3（16）二、解答题（17）解：（I）由2243nnnaaS，可知2111243.nnnaaS可得221112()4nnnnaaaaa即2211112()()()nnnnnnaaaaaaaa由于0na可得12.nnaa又2111243aaa，解得111()3aa舍去，所以na是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为21.nan（II）由21nan111111().(21)(23)22123nnbaannnn设数列nb的前n项和为nT，则12nnTbbb1111111()()()()235572123.3(23)nnnn（18）解：（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120°，可得AG=GC=3.由BE平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.又AEEC，所以EG=3，且EGAC.在RtEBG中，可得BE=2故DF=22.在RtFDG中，可得FG=62.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=22，可得FE=322.从而222,EGFGEFEGFG所以又,.ACFGGEGAFC可得平面因为EGAEC平面所以平面AECAFC平面（III）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，GB为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由（I）可得2(03,0),(102),(10),(03,0)2AEFC，，，，，，所以2(132),(13,).2AECF，，故3cos,.3AECFAECFAECF所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为33.（19）解：（I）由散点图可以判断，ycdx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。……2分（II）令wx，先建立y关于w的线性回归方程。由于121()()108.8ˆ681.6()niiiniiwwyydwwˆˆ563686.8100.6cydw。所以y关于w的线性回归方程为ˆ100.668yw，因此y关于x的回归方程为ˆ100.668yx。……6分（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值ˆ100.66849576.6y年利润z的预报值ˆ576.60.24966.32z。……9分（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值ˆ0.2(100.668)13.620.12zxxxx所以当13.66.82x，即x=46.24时，ˆz取得最大值故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。……12分（20）解：（I）有题设可得(2,),(2,),MaaNaaMa或（-2,a）.又2=y224xxyxa，故在处的导数值为a，C在点(2,)aa出的切线方程为a(2),0yaxaaxya即224xyxa在，即0axya.股所求切线方程为0a0axyaxya和（III）存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为12,kk2440.ykxaCxkxa代入的方程得故12124,4.xxkxxa从而2440.kxaCkxa代入的方程得x12124,4.xxkxxa故12112121212b22()()yybkkxxkxxabxxxx从而()kaba当b=-a时，有120,=kkPM则直线的倾角与直线PN的倾角互补，故OPMOPN，所以点P(0,-a)符合题意（21）解：（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点000300200(,0)()0,()01043013,24xfxfxxaxxaa则即解得x因此，当3xy()4afx时，轴为曲线的切线（II）当x(1,)()10,(),()()0,h()(1,)gxnxfxgxgxx时，从而h(x)=min故在无零点55x1(1)0,(1)min(1),(1)(1)0,x44afahfgg当时，若则故是5()a,(1),(1)(1)0,1(4hxfgfxhx的零点；若则f(1)0,h(1)=min故不是的零点x(0,1)g()10.fxnx当时，所以