2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-3word

1.若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2}D．[2，＋∞)[答案]C[解析]f′(x)＝3x2－6a，若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；若a0，则由f′(x)＝0得x＝±2a，当x－2a和x2a时，f′(x)0，f(x)单调增，当－2ax2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，∴a＝2.[点评]f(x)的单调递减区间是(－2,2)和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用x＝±2是方程f′(x)＝3x2－6a＝0的两根解得a＝2.2．(2010·北京)给定函数①y＝x12，②y＝log12(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]B[解析]①y＝x12为增函数，排除A、D；④y＝2x＋1为增函数，排除C，故选B.3．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()A．(－∞，32]B．[32，＋∞)C．(－1，32]D．[32，4)[答案]D[解析]由4＋3x－x20得，函数f(x)的定义域是(－1，4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－(x－32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e1，∴函数f(x)的单调减区间为[32，4)．[点评]可用筛选法求解，显然x＝±100时，f(x)无意义，排除A、B；f(0)＝ln4，f(1)＝ln6，f(0)f(1)，排除C，故选D.4．(2011·安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，则f(1)的值()A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负[答案]A[解析]∵f(x)在R上有意义，且f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∵f(x)为增函数，∴f(1)f(0)＝0.5．(2011·北京学普教育中心)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是．．单调函数，则实数k的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[1，32)C．[1,2)D．[32，2)[答案]B[解析]因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－1x，由f′(x)＝0，得x＝12.据题意，k－112k＋1k－1≥0，解得1≤k32，选B.6．(2010·鞍山一中模拟)已知偶函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递减，则()A．f72f73f75B．f75f72f73C．f73f72f75D．f75f73f72[答案]B[解析]由条件知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∵f(x)为偶函数，∴f72＝f72－4＝f－12＝f12，f73＝f73－2＝f13，f75＝f75－2＝f－35＝f35，∵f(x)在[0,1]上单调递减，∴f13f12f35，∴f73f72f75.7．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．[答案][－14，0][解析](1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－1a，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a0，且－1a≥4，解得－14≤a0.综上所述－14≤a≤0.8．f(x)＝xlnx的单调递增区间是________．[答案]1e，＋∞[解析]f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)0得x1e，∴f(x)在1e，＋∞上单调递增.1.已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)0，则f(x)＝0在[a，b]内()A．至少有一实数根B．至多有一实数根C．没有实数根D．有唯一实数根[答案]D[解析]利用函数f(x)在[a，b]上是单调减函数，又f(a)，f(b)异号．故选D.2．(文)若函数y＝f(x)的导函数．．．在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()[答案]A[解析]∵导函数f′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.[点评]B图中切线斜率逐渐减小，C图中f′(x)为常数，D图中切线斜率先增大后减小．(理)如果函数y＝a－x(a0，且a≠1)是减函数，那么函数f(x)＝loga1x＋1的图象大致是()[答案]C[解析]解法一：由函数y＝a－x(a0，且a≠1)是减函数知a1，∴01a1，f(x)＝loga1x＋1＝－loga(x＋1)＝log1a(x＋1)．函数f(x)的图象可以看作由函数y＝log1ax的图象向左平移1个单位长度得到，又y＝log1ax是减函数，∴f(x)为减函数，故选C.解法二：由于f(0)＝0，故排除A、B；由y＝a－x，即y＝1ax是减函数知a1，∴x0时，f(x)0，排除D，选C.3．(2010·南昌市模拟)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0θπ)，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数在区间()上是增函数．()A.－π2，－π4B.－π4，π4C.0，π2D.π4，3π4[答案]A[解析]∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，0θπ，∴θ＝π2，∴y＝2cosωx，由条件知，此函数的周期为π，∴ω＝2，∴y＝2cos2x，由2kπ－π≤2x≤2kπ，(k∈Z)得，kπ－π2≤x≤kπ(k∈Z)，令k＝0知，函数在－π2，0上是增函数，故A正确．4．(文)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))0，则当n∈N*时，有()A．f(－n)f(n－1)f(n＋1)B．f(n－1)f(－n)f(n＋1)C．f(n＋1)f(－n)f(n－1)D．f(n＋1)f(n－1)f(－n)[答案]C[解析]由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))0得f(x)在(－∞，0]上为增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x)在[0，＋∞)上为减函数．又f(－n)＝f(n)且0≤n－1nn＋1，∴f(n＋1)f(n)f(n－1)，即f(n＋1)f(－n)f(n－1)．故选C.(理)(2010·南充市)已知函数f(x)图象的两条对称轴x＝0和x＝1，且在x∈[－1,0]上f(x)单调递增，设a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(2)，则a、b、c的大小关系是()A．abcB．acbC．bcaD．cba[答案]D[解析]∵f(x)在[－1,0]上单调增，f(x)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)在[0,1]上单调减；又f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f(3)＝f(－1)＝f(1)f(2)f(2)，即cba.5．(文)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．[答案](0,1][解析]由f(x)＝－x2＋2ax得函数对称轴为x＝a，又在区间[1,2]上是减函数，所以a≤1，又g(x)＝ax＋1在[1,2]上减函数，所以a0，综上a的取值范围为(0,1]．(理)若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．[答案]a≤－4[解析]∵函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，∴当x∈(0,1)时，f′(x)＝2x＋2＋ax＝2x2＋2x＋ax≤0，∴g(x)＝2x2＋2x＋a≤0在x∈(0,1)时恒成立，∵g(x)的对称轴x＝－12，x∈(0,1)，∴g(1)≤0，即a≤－4.6．(文)已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．[解析](1)证明：设x1x2－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2x1－x2x1＋2x2＋2.∵(x1＋2)(x2＋2)0，x1－x20，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)解：设1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a.∵a0，x2－x10，∴要使f(x1)－f(x2)0，只需(x1－a)(x2－a)0恒成立，∴a≤1.综上所述知0a≤1.[点评]第(2)问中，由f(x)单调递减知x1x2时，f(x1)－f(x2)0恒成立，从而(x1－a)(x2－a)0恒成立，由于a0，x11，x21，故只有当0a≤1时才满足．(理)已知函数f(x)对任意的a、b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)3.[解析](1)证明：任取x1、x2∈R且x1x2，∴x2－x10.∴f(x2－x1)1.∴f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)－1f(x1)，∴f(x)是R上的增函数．(2)解：f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.∴f(3m2－m－2)3化为f(3m2－m－2)f(2)．又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－22，∴－1m43.7．(文)(2010·北京市东城区)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a0且a≠1.(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当a1时，求使f(x)0的x的取值范围．[解析](1)要使f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)有意义，则x＋101－x0，解得－1x1.故所求定义域为{x|－1x1}．(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1x1}，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)因为当a1时，f(x)在定义域{x|－1x1}内是增函数，所以f(x)0⇔x＋11－x1.解得0x1.所以使f(x)0的x的取值范围是{x|0x1}．(理)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，且a≠0)，F(x)＝fxx0－fxx0.(1)若f(－1)＝0，曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,1]时，g(x)＝kx－f(x)是单调函数，求实数k的取值范围；(3)设mn0，m＋n0，a0，且f(x)为偶函数，证明F(m)＋F(n)0.[解析](1)因为f(x)＝ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝2ax＋b.又曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，故f′(－1)＝0，即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①因为f(－1)＝0，所以b＝a＋c.②又因为曲线y