2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学2-1

1.(文)已知函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝()A.18B.14C.12D．1[答案]B[解析]∵y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1∴x0＝12a∴y0＝12a代入y＝ax2＋1得，12a＝14a＋1∴a＝14故选B.(理)二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝a(x＋b2a)2－b24a，顶点(－b2a，－b24a)在第三象限，故选C.2．(2010·江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0[答案]B[解析]f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2，故选B.[点评]要善于观察，由f′(x)＝4ax3＋2bx知，f′(x)为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.3．(文)若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为()A.π2B．0C．钝角D．锐角[答案]C[解析]y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝2e4sin(4＋π4)0，故倾斜角为钝角，选C.(理)(2011·山东淄博一中期末)曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A．1B.19C.13D.23[答案]B[解析]∵y′＝x2＋1，∴k＝2，切线方程y－43＝2(x－1)，即6x－3y－2＝0，令x＝0得y＝－23，令y＝0得x＝13，∴S＝12×13×23＝19.4．(文)(2010·新课标高考)曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2[答案]A[解析]∵y′＝x′x＋2－xx＋2′x＋22＝2x＋22，∴k＝y′|x＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.(理)(2010·黑龙江省哈三中)已知y＝sinx1＋cosx，x∈(0，π)，当y′＝2时，x等于()A.π3B.23πC.π4D.π6[答案]B[解析]y′＝cosx·1＋cosx－sinx·－sinx1＋cosx2＝11＋cosx＝2，∴cosx＝－12，∵x∈(0，π)，∴x＝2π3.5．(2011·山东文，4)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15[答案]C[解析]由y＝x3＋11知y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，令x＝0得y＝9，故选C.6．(文)已知f(x)＝logax(a1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则()A．ABCB．ACBC．BACD．CBA[答案]A[解析]记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝fa＋1－faa＋1－a，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以，ABC.(理)设函数f(x)＝sinωx＋π6－1(ω0)的导函数f′(x)的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程是()A．x＝π9B．x＝π6C．x＝π3D．x＝π2[答案]A[解析]f′(x)＝ωcosωx＋π6的最大值为3，即ω＝3，∴f(x)＝sin3x＋π6－1.由3x＋π6＝π2＋kπ得，x＝π9＋kπ3(k∈Z)．故A正确．7．(文)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.[答案]1[解析]由y′|x＝1＝2a＝2得a＝1.(理)设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________．[答案]y＝－3x[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，又f′(－x)＝f′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)对任意x∈R都成立，所以a＝0，f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.8．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.[答案]2[解析]由条件知f′(5)＝－1，又在点P处切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.1.(2011·江西理，4)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)[答案]C[解析]因为f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－x－2x0，即x0x2－x－20，解得x2，故选C.2．(文)函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为()[答案]A[解析]∵f(x)＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx，∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，排除C；∵f′(0)＝1，排除D；由f′π2＝－π20，f′(2π)＝10，排除B，故选A.(理)(2010·广东汕头一中)函数f(x)＝e2x的图象上的点到直线2x－y－4＝0的距离的最小值是()A.3B.5C.322D.355[答案]B[解析]设l为与直线2x－y－4＝0平行的函数f(x)＝e2x的图象的切线，切点为(x0，y0)，则kl＝f′(x0)＝2e2x0＝2，∴x0＝0，y0＝1，∴切点(0,1)到直线2x－y－4＝0的距离d＝55＝5即为所求．3．(2010·东北师大附中模拟)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为()A．αβγB．βαγC．γαβD．βγα[答案]C[解析]由g(x)＝g′(x)得，x＝1，∴α＝1，由h(x)＝h′(x)得，ln(x＋1)＝1x＋1，故知1x＋12，∴0x1，即0β1，由φ(x)＝φ′(x)得，x3－1＝3x2，∴x2(x－3)＝1，∴x3，故γ3，∴γαβ.[点评]对于ln(x＋1)＝1x＋1，假如0x＋11，则ln(x＋1)0，1x＋11矛盾；假如x＋1≥2，则1x＋1≤12，即ln(x＋1)≤12，∴x＋1≤e，∴x≤e－1与x≥1矛盾．4．(文)已知函数f(x)＝xp＋qx＋r，f(1)＝6，f′(1)＝5，f′(0)＝3，an＝1fn，n∈N＋，则数列{an}的前n项和是()A.nn＋1B.nn＋2C.n＋12n＋4D.n2n＋4[答案]D[解析]∵f′(x)＝pxp－1＋q，由条件知1＋q＋r＝6p＋q＝5q＝3，∴p＝2q＝3r＝2，∴f(x)＝x2＋3x＋2.∴an＝1fn＝1n2＋3n＋2＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2∴{an}的前n项和为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝12－13＋13－14＋…＋1n＋1－1n＋2＝12－1n＋2＝n2n＋4.(理)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．215[答案]C[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′·0＝a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.5．(2011·朝阳区统考)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，0)[解析]由题意，可知f′(x)＝3ax2＋1x，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋1x＝0⇒a＝－13x3(x0)⇒a∈(－∞，0)．6．求下列函数的导数：(1)y＝15x5－43x3＋3x2＋2；(2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝lnxx2＋1；(5)y＝xcosx－sinx.(6)(理)y＝cos32x＋ex；(7)(理)y＝lg1－x2.[解析]可利用导数公式和导数运算法则求导．(1)y′＝15x5′－43x3′＋(3x2)′＋(2)′＝x4－4x2＋6x.(2)∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4，或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)y′＝lnx′x2＋1－lnx·x2＋1′x2＋12＝1x·x2＋1－lnx·2xx2＋12＝x2＋1－2x2·lnxxx2＋12.(5)y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.(6)(理)y′＝3cos22x·(cos2x)′＋ex＝－6sin2x·cos22x＋ex.(7)(理)y′＝12lg1－x2′＝12·lge1－x2·(1－x2)′＝xlgex2－1.7．(文)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．[解析](1)∵y′＝2x＋1，∴曲线在点(1,0)处的切线斜率为k＝3，故l1：y＝3x－3；又l1⊥l2，∴l2的斜率k1＝－13，由2x＋1＝－13得，x＝－23，∴直线l2与曲线切点为－23，－209，∴l2：y＝－13x－229.(2)解方程组y＝3x－3y＝－13x－229，得x＝16y＝－52.所以直线l1和l2的交点坐标为16，－52.l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、－223，0.所以所求三角形的面积S＝12×253×52＝12512.(理)设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0.若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析]∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P(0，d)，又曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，P点坐标适合方程，从而d＝－4；又切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数