2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学2-2

1.(2011·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)[答案]B[解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则φ′(x)＝f′(x)－20.∴φ(x)在R上是增函数．又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，∴当x－1时，φ(x)φ(－1)＝0，∴f(x)－2x－40，∴f(x)2x＋4.故选B.2．(2010·宁夏石嘴山一模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是()A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16[答案]A[解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.3．(文)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427，0B．0，427C．－427，0D．0，－427[答案]A[解析]f′(x)＝3x2－2px－q由f′(1)＝0，f(1)＝0得3－2p－q＝01－p－q＝0解得p＝2q＝－1，∴f(x)＝x3－2x2＋x由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝13或x＝1易得当x＝13时f(x)取极大值427当x＝1时f(x)取极小值0.(理)设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a、b、c的值为()A．a＝－12，b＝0，c＝－32B．a＝12，b＝0，c＝－32C．a＝－12，b＝0，c＝32D．a＝12，b＝0，c＝32[答案]C[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，所以由题意得f′1＝0，f′－1＝0.f－1＝－1，即3a＋2b＋c＝0，3a－2b＋c＝0，－a＋b－c＝－1，解得a＝－12，b＝0，c＝32.4．(文)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内的极大值点有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]由导函数的图象知，f(x)在(a，b)内变化情况为增→减→增→减，故有两个极大值点．(理)(2010·胶州三中)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0,0φπ)，其导函数f′(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝4sin12x＋π4B．f(x)＝2sin12x＋π4C．f(x)＝2sin12x＋3π4D．f(x)＝4sin12x＋3π4[答案]A[解析]f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，由f′(x)的图象知，Aω＝2，设周期为T，则T2＝3π2－－π2＝2π，∴T＝2πω＝4π，∴ω＝12，∴A＝4，∵f′(x)的图象过点π2，0，∴2cos12×π2＋φ＝0，∴π4＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，即φ＝π4＋kπ，k∈Z，∵0φπ，∴φ＝π4.故选A.5．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3k－1或1k3C．－2k2D．不存在这样的实数[答案]B[解析]因为y′＝3x2－12，由y′0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1－2k＋1或k－12k＋1，解得－3k－1或1k3，故选B.[点评]已知函数f(x)，由f′(x)的符号可得到函数f(x)的单调区间，而f(x)在区间(k－1，k＋1)上不单调，因此，k－1与k＋1应分布在函数f(x)的两个单调区间内．请再练习下题：已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________．[答案]3k27[解析]f′(x)＝3x2－k.由3x2－k0，得x2k3，若k≤0，则f(x)显然在(－3，－1)上单调递增，∴k0，∴xk3或x－k3.由3x2－k0得－k3xk3，∴f(x)在－∞，－k3上单调递增，在(－k3，k3)上单调递减，在k3，＋∞上单调递增，由题设条件知－3－k3－1，∴3k27.6．(2010·广东省东莞市)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()[答案]A[解析]由图可知，当x0时，f′(x)0，∴函数f(x)的图象在(0，＋∞)上是单调递减的；当x－2时，f′(x)0，∴函数f(x)的图象在(－∞，－2)上也是单调递减的，所以只有A符合，故选A.7．(2011·福州模拟)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．[答案]－37[解析]f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x0或x2时，f′(x)0，当0x2时，f′(x)0，∴f(x)在[－2,0]上单调增，在[0,2]上单调减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.8．(2011·惠州三模)已知函数f(x)＝1－xax＋lnx，若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a的取值范围为________．[答案][1，＋∞)[解析]∵f(x)＝1－xax＋lnx，∴f′(x)＝ax－1ax2(a0)，∵函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f′(x)＝ax－1ax2≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，∴ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≥1x对x∈[1，＋∞)恒成立，∴a≥1.1.若a2，则函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有()A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点[答案]B[解析]f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)＝0⇒x1＝0，x2＝2a4.易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)＝10，f(2)＝113－4a0，由零点判定定理知，函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有一个零点．2．(2011·南开区质检)已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A．2B．1C．－1D．－2[答案]A[解析]∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，∴b＝1c＝2或b＝－1c＝－2，∴ad＝2.3．(2011·福建文，10)若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9[答案]D[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b＝0的一根为x＝1，即12－2a－2b＝0.∴a＋b＝6，∴ab≤(a＋b2)2＝9，当且仅当a＝b＝3时“＝”号成立．4．(文)(2011·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝ax2－1的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线8x－y＋2＝0平行，若数列1fn的前n项和为Sn，则S2010的值为()A.20102011B.10052011C.40204021D.20104021[答案]D[解析]∵f′(x)＝2ax，∴f(x)在点A处的切线斜率为f′(1)＝2a，由条件知2a＝8，∴a＝4，∴f(x)＝4x2－1，∴1fn＝14n2－1＝12n－1·12n＋1＝1212n－1－12n＋1∴数列1fn的前n项和Sn＝1f1＋1f2＋…＋1fn＝121－13＋1213－15＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1，∴S2010＝20104021.(理)f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a、b，若ab，则必有()A．af(b)≤bf(a)B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b)D．bf(b)≤f(a)[答案]A[解析]∵xf′(x)＋f(x)≤0，又f(x)≥0，∴xf′(x)≤－f(x)≤0.设y＝fxx，则y′＝x·f′x－fxx2≤0，故y＝fxx为减函数或为常数函数．又ab，∴faa≥fbb，∵a、b0，∴a·f(b)≤b·f(a)．[点评]观察条件式xf′(x)＋f(x)≤0的特点，可见不等式左边是函数y＝xf(x)的导函数，故可构造函数y＝xf(x)或y＝fxx通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：已知a，b是实数，且eab，其中e是自然对数的底数，则ab与ba的大小关系是()A．abbaB．abbaC．ab＝baD．ab与ba的大小关系不确定[答案]A[解析]令f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1－lnxx2.当xe时，f′(x)0，∴f(x)在(e，＋∞)上单调递减．∵eab，∴f(a)f(b)，即lnaalnbb，∴blnaalnb，∴lnablnba，∴abba.5．(文)设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．[答案]34，3[解析]设P(a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈[－1,3]，∴0≤a≤2.∴a2－a＋1＝a－122＋34，当a＝12时，取最小值34，当a＝2时，取最大值3，故P点纵坐标范围是34，3.(理)(2011·苏北四市调研)已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．[答案][－2，－1][解析]由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图象上，故－m＋n＝2①又f′(x)＝3mx2＋2nx，由条件知f′(－1)＝－3，故3m－2n＝－3②联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，则[t，t＋1]⊆[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，所以t∈[－2，－1]．[点评]f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，故[t，t＋1]是f(x)的减区间的子集．6．(2011·安庆质检)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．[答案]－13[解析]求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.7．(文)设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.(1)求a、b、c的值；(2)求函数的递减区间．[解析](1)函数的图象经过(0,0)点，∴c＝0.又图象与x轴相切于