2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学2-3

1.(文)(2010·甘肃省质检)函数f(x)＝x3－ax2＋x在x＝1处的切线与直线y＝2x平行，则a＝()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]由条件知，f′(1)＝3×12－2a×1＋1＝2，∴a＝1.(理)(2010·烟台市诊断)曲线y＝2cosx在x＝π4处的切线方程是()A．x－y－4＋π4＝0B．x＋y＋4－π4＝0C．x＋y－4＋π4＝0D．x＋y＋4＋π4＝0[答案]C[解析]y′|x＝π4＝－2sinx|x＝π4＝－2sinπ4＝－1，∴切线方程为y－2cosπ4＝－x－π4，即x＋y－1－π4＝0，故选C.2．(文)(2011·福建龙岩市质检)已知函数f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论：①函数f(x)在区间(－3,1)内单调递减；②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减；③当x＝－3时，函数f(x)有极大值；④当x＝7时，函数f(x)有极小值．则其中正确的是()A．②④B．①④C．①③D．②③[答案]A[解析]由图象可知函数f(x)在(－3,1)内单调递增，在(1,7)内单调递减，所以①是错误的；②是正确的；③是错误的；④是正确的．故选A.(理)(2010·安徽合肥市质检)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是()[答案]D[解析]由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故选D.3．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案]C[解析]∵y＝－13x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x0)．令y′＝0得x＝9，令y′0得x9，令y′0得0x9，∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C.[点评]利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左右两边的导数的符号才能确定．4．(文)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为()A.S3πB.3πSC.6πS6πD．3π·6πS[答案]C[解析]设圆柱底面半径为r，高为h，∴S＝2πr2＋2πrh∴h＝S－2πr22πr又V＝πr2h＝rS－2πr32，则V′＝S－6πr22，令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝6πS6π.(理)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC.43RD.34R[答案]C[解析]设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2∴r2＝2Rh－h2∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3V′＝43πRh－πh2，令V′＝0得h＝43R.5．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm[答案]D[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为202－x2，其体积为V＝13πx(400－x2)(0＜x＜20)，V′＝13π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝2033.当0＜x＜2033时，V′＞0；当2033＜x＜20时，V′＜0所以当x＝2033时，V取最大值．6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x＞400.则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100B．150C．200D．300[答案]D[解析]由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝300x－x22－20000，0≤x≤400，60000－100x，x＞400，P′＝300－x，0≤x≤400，－100，x＞400.令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．‘7．(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为：1，该长方体的最大体积是________．[答案]3m3[解析]设长方体的宽为x，则长为2x，高为92－3x(0x2)，故体积为V＝2x292－3x＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0x2，∴x＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.(理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么容器的容积最大时，容器的高为________．[答案]1.2m[解析]设容器的短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为14.8－4x－4x＋0.54＝3.2－2x.由3.2－2x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0x1.6)，整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－415(不合题意，舍去)，∴高＝3.2－2＝1.2，容积V＝1×1.5×1.2＝1.8答：高为1.2m时容积最大．8．(2011·北京模拟)若函数f(x)＝lnx－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．[答案][－1，＋∞)[分析]函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f′(x)0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f′(x)0在(0，＋∞)上有实数解时a的取值范围．[解析]解法1：f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意知f′(x)0有实数解，∵x0，∴ax2＋2x－10有实数解．当a≥0时，显然满足；当a0时，只要Δ＝4＋4a0，∴－1a0，综上知a－1.解法2：f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意可知f′(x)0在(0，＋∞)内有实数解．即1－ax2－2x0在(0，＋∞)内有实数解．即a1x2－2x在(0，＋∞)内有实数解．∵x∈(0，＋∞)时，1x2－2x＝(1x－1)2－1≥－1，∴a－1.1.(2010·泰安质检)已知非零向量a，b满足：|a|＝2|b|，若函数f(x)＝13x3＋12|a|x2＋a·bx在R上有极值，设向量a，b的夹角为θ，则cosθ的取值范围为()A.12，1B.12，1C.－1，12D.－1，12[答案]D[解析]∵函数f(x)在R上有极值，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两不等实根，∴Δ＝|a|2－4|a|·|b|cosθ＝4|b|2－8|b|2cosθ0，∴cosθ12，∴选D.[点评]若f(x)为三次函数，f(x)在R上有极值，则f′(x)＝0应有二不等实根，当f(x)有两相等实根时，不能保证f(x)有极值，这一点要特别注意，如f(x)＝13x3，f′(x)＝x2＝0有实根x＝0，但f(x)在R上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．2．(文)(2010·常德市检测)已知函数f(x)＝13x3＋ax2－bx＋1(a、b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，则a＋b的最小值是()A.23B.32C．2D．3[答案]C[解析]f′(x)＝x2＋2ax－b，在[－1,3]上有f′(x)≤0，∴f－1≤0f3≤0，∴2a＋b≥16a－b≤－9，由2a＋b＝16a－b＝－9得a＝－1b＝3，∴当直线a＋b＝z经过点A(－1,3)时，zmin＝2.(理)(2010·鞍山一中)函数f(x)＝13ax3＋12ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()A．a－316B．－65a－316C．a－65D．－65≤a≤－316[答案]B[解析]f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)有两个零点－2和1，故由题设条件知－2和1是函数f(x)的一个极大值点和一个极小值点，∵f(x)的图象经过4个象限，∴f(－2)·f(1)0，∴16a3＋156a＋10，∴－65a－316，故选B.3．在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A.R2和32RB.55R和455RC.45R和75RD．以上都不对[答案]B[解析]设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0＜x＜R)，l′＝2－4xR2－x2，令l′＝0，解得x＝55R.当0＜x＜55R时，l′＞0；当55R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝55R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R，455R.4．(文)如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为()[答案]A[解析]∵y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，∴k＝g(x)＝xcosx，易知其图象为A.(理)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()A.abB.a2bC.baD.b2a[答案]C[解析]如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·VπR2＝2πaR2＋2bVR，∴y′＝4πaR－2bVR2.令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，2Rh＝ba.5．(2010·江苏，14)将边长为1m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝梯形的周长2梯形的面积，则s的最小值是________．[答案]3233[解析]设DE＝x，则梯形的周长为：3－x，梯形的面积为：12(x＋1)·32(1－x)＝34(1－x2)∴s＝3－x2341－x2＝433·x2－6x＋91－x2，x∈(0,1)，设h(x)＝x2－6x＋91－x2，h′(x)＝－6x2＋20x－61－x22.令h′(x)＝0，得：x＝13或x＝3(舍)，∴h(x)最小值＝h13＝8，∴s最小值＝433×8＝3233.6．(文)(2010·陕西宝鸡市质检)高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0x1)，那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元．(1)写出月利润y与x的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．[解析](1)依题意，销售价提高后变为6000(1＋x)元/台，月销售量为a(1－x2)台，则y＝a(1－x2)[6000(1＋x)－4500]，即y＝1500a(－4x3－x2＋4x＋1)(0x1)．(2)由(1)知y′＝1500a(－12x2－2x＋4)，令y′＝0得，6x2＋x－2＝0，解得x＝12或x＝－23(舍去)．当0x12时，y′0；当12x1时，y′0.故当x＝12时，y取得最大值．此时销售价为6000×32＝9000元．故笔记本电脑的销售价为每台9000元时，该公司的月利润最大．(理)(2010·南通模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P＝119200v4－1160v3＋15v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的