2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学3-2

1.(2011·武汉调研)若cosα＝35，－π2α0，则tanα＝()A.43B.34C．－43D．－34[答案]C[解析]依题意得，sinα＝－45，tanα＝sinαcosα＝－43，选C.2．(2010·河北唐山)已知cosα－π4＝14，则sin2α＝()A．－78B.78C．－3132D.3132[答案]A[解析]sin2α＝cosπ2－2α＝cos2α－π4＝2cos2α－π4－1＝2×142－1＝－78.3．(2010·福建省福州市)已知sin10°＝a，则sin70°等于()A．1－2a2B．1＋2a2C．1－a2D．a2－1[答案]A[解析]由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2，故选A.4．(2011·天津模拟)若cos(2π－α)＝53且α∈(－π2，0)，则sin(π－α)＝()A．－53B．－23C．－13D．±23[答案]B[解析]∵cos(2π－α)＝53，∴cosα＝53，∵α∈(－π2，0)，∴sinα＝－23，∴sin(π－α)＝sinα＝－23.5．(2011·杭州二检)若a＝(32，sinα)，b＝(cosα，13)，且a∥b，则锐角α＝()A．15°B．30°C．45°D．60°[答案]C[解析]依题意得32×13－sinαcosα＝0，即sin2α＝1.又α为锐角，故2α＝90°，α＝45°，选C.6．(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学联考)已知cosα＝45，α∈(－π4，0)，则sinα＋cosα等于()A.15B．－15C．－75D.75[答案]A[解析]由于cosα＝45，α∈(－π4，0)，所以sinα＝－35，所以sinα＋cosα＝15，故选A.7．(2011·山东烟台模拟)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tanα＝________.[答案]－33[解析]由已知得sinα＝－12，又α∈(－π2，0)，所以cosα＝1－sin2α＝32，因此tanα＝sinαcosα＝－33.8．(文)(2010·苏北四市)设α是第三象限角，tanα＝512，则cos(π－α)＝________.[答案]1213[解析]∵α为第三象限角，tanα＝512，∴cosα＝－1213，∴cos(π－α)＝－cosα＝1213.(理)(2010·浙江杭州质检)若sin3π2－2x＝35，则tan2x等于________．[答案]4[解析]sin3π2－2x＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝35，又sin2x＋cos2x＝1，∴sin2x＝45cos2x＝15，∴tan2x＝sin2xcos2x＝4.1.(2010·新乡市模考)已知α∈－π2，0，cosα＝45，则tan2α等于()A．－247B.247C．－724D.724[答案]A[解析]∵－π2α0，cosα＝45，∴sinα＝－1－cos2α＝－35，∴tanα＝sinαcosα＝－34，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，故选A.2．(2011·绵阳二诊)已知tanθ1，且sinθ＋cosθ0，则cosθ的取值范围是()A．(－22，0)B．(－1，－22)C．(0，22)D．(22，1)[答案]A[解析]如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2kπ＋5π4θ2kπ＋3π2，k∈Z，因此－22cosθ0.选A.3．(2010·河南南阳调研)在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则C等于()A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°[答案]A[解析]两式平方后相加得sin(A＋B)＝12，∴A＋B＝30°或150°，又∵3sinA＝6－4cosB2，∴sinA2312，∴A30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.4．(文)(2011·湖北联考)已知tanx＝sin(x＋π2)，则sinx＝()A.－1±52B.3＋12C.5－12D.3－12[答案]C[解析]∵tanx＝sin(x＋π2)，∴tanx＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝－1±52，∵－1≤sinx≤1，∴sinx＝5－12.故选C.(理)(2011·重庆诊断)已知2tanα·sinα＝3，－π2α0，则cosα－π6的值是()A．0B.32C．1D.12[答案]A[解析]∵2tanαsinα＝3，∴2sin2αcosα＝3，即21－cos2αcosα＝3，∴2cos2α＋3cosα－2＝0，∵|cosα|≤1，∴cosα＝12，∵－π2α0，∴sinα＝－32，∴cosα－π6＝cosαcosπ6＋sinαsinπ6＝12×32－32×12＝0.5．(2011·盐城模拟)已知cos(5π12＋α)＝13，且－πα－π2，则cos(π12－α)＝________.[答案]－223[解析]∵－πα－π2，∴－7π125π12＋α－π12，∵cos(5π12＋α)＝13，∴sin(5π12＋α)＝－223，∴cos(π12－α)＝cos[π2－(5π12＋α)]＝sin(5π12＋α)＝－223.6．(文)设a＝12cos16°－32sin16°，b＝2tan14°1＋tan214°，c＝1－cos50°2，则a、b、c的大小关系为________(从小到大排列)．[答案]acb[解析]a＝sin14°，b＝2sin14°cos14°cos214°＋sin214°＝sin28°，c＝sin25°，∵y＝sinx在(0°，90°)上单调递增，∴acb.(理)(2011·江西上饶四校联考)对任意的a∈(－∞，0)，总存在x0使得acosx＋a≥0成立，则sin(2x0－π6)的值为________．[答案]－12[解析]若对任意的a∈(－∞，0)，总存在x0使得acosx＋a≥0成立，则cosx0＋1≤0，又cosx0＋1≥0，即cosx0＋1＝0，所以cosx0＝－1，则x0＝2kπ＋π(k∈Z)，所以sin(2x0－π6)＝sin(4kπ＋2π－π6)＝sin(－π6)＝－sinπ6＝－12.7．(文)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA＝12，cosB＝31010.(1)求tanC的值；(2)若△ABC最长的边为1，求b.[解析](1)∵cosB＝310100，∴B为锐角，sinB＝1－cos2B＝1010∴tanB＝sinBcosB＝13.∴tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanA·tanB＝－12＋131－12·13＝－1.(2)由(1)知C为钝角，所以C是最大角，所以最大边为c＝1∵tanC＝－1，∴C＝135°，∴sinC＝22.由正弦定理：bsinB＝csinC得，b＝csinBsinC＝1·101022＝55.(理)(2010·南充市模拟)已知三点：A(4,0)，B(0,4)，C(3cosα，3sinα)．(1)若α∈(－π，0)，且|AC→|＝|BC→|，求角α的值；(2)若AC→·BC→＝0，求2sin2α＋sin2α1＋tanα的值．[解析](1)由题得AC→＝(3cosα－4,3sinα)，BC→＝(3cosα，3sinα－4)由|AC→|＝|BC→|得，(3cosα－4)2＋9sin2α＝9cos2α＋(3sinα－4)2⇒sinα＝cosα∵α∈(－π，0)，∴α＝－3π4.(2)由AC→·BC→＝0得，3cosα(3cosα－4)＋3sinα(3sinα－4)＝0，解得sinα＋cosα＝34，两边平方得2sinαcosα＝－716∴2sin2α＋sin2α1＋tanα＝2sin2α＋2sinαcosα1＋sinαcosα＝2sinαcosα＝－716.8．(文)(2010·北京东城区模拟)已知向量a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，α∈π，3π2，且a⊥b.(1)求sinα的值；(2)求tanα＋π4的值．[解析](1)∵a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，且a⊥b.∴a·b＝(cosα，1)·(－2，sinα)＝－2cosα＋sinα＝0.∴cosα＝12sinα.∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝45.∵α∈π，3π2，∴sinα＝－255.(2)由(1)可得cosα＝－55，则tanα＝2.tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝－3.(理)已知向量m＝(－1，cosωx＋3sinωx)，n＝(f(x)，cosωx)，其中ω0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f32α＋π2＝2326，求sinα＋π4cos4π＋2α的值．[解析](1)由题意得m·n＝0，所以，f(x)＝cosωx·(cosωx＋3sinωx)＝1＋cos2ωx2＋3sin2ωx2＝sin2ωx＋π6＋12，根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.又ω0，所以ω＝13.(2)由(1)知f(x)＝sin23x＋π6＋12.所以f32α＋π2＝sinα＋π2＋12＝cosα＋12＝2326，解得cosα＝513，因为α是第一象限角，故sinα＝1213，所以，sinα＋π4cos4π＋2α＝sinα＋π4cos2α＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α＝22·1cosα－sinα＝－13214.1．(2010·重庆一中)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且∠A＝2∠B，则sinBsin3B等于()A.bcB.cbC.baD.ac[答案]A[解析]∵A＝2B，∴sinBsin3B＝sinBsinA＋B＝sinBsinπ－C＝sinBsinC＝bc.2．(2010·安徽铜陵一中)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且a＋c＝3，tanB＝73，则△ABC的面积为()A.74B.54C.72D.52[答案]A[解析]∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，∵tanB＝73，∴sinB＝74，cosB＝34，∵a＋c＝3，b2＝a2＋c2－2accosB，∴ac＝2，∴S△ABC＝12acsinB＝74.3．(2011·石家庄质检)已知x∈(π2，π)，cos2x＝a，则cosx＝()A.1－a2B．－1－a2C.1＋a2D．－1＋a2[答案]D[解析]a＝cos2x＝2cos2x－1，∵x∈(π2，π)，∴cosx0，∴cosx＝－a＋12.4．(2010·北京东城区)函数y＝1－2sin2x－π4是()A．最小正周期为π的偶函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为π2的偶函数D．最小正周期为π2的奇函数[答案]B[解析]y＝1－2sin2x－π4＝cos2x－π4＝cos2x－π2＝sin2x为奇函数且周期T＝π.5．已知sinπ6－α＝14，则sinπ6＋2α＝______.[答案]78[解析]sinπ6＋2α＝cosπ2－π6－2α＝cosπ3－2α＝1－2sin2π6－α＝78.6．(2010·浙江宁波十校)若sin76°＝m，则cos7°＝______.[答案]2m＋22[解析]∵sin76°＝m，∴cos14°＝m，即2cos27°－1＝m，∴cos7°＝2＋2m2.7．已知函数f(x)＝2cosπ3xx≤2000x－102x2000，则f