2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学3-4

1.(2011·北京东城区期末)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为()A.14B.13C.12D.53[答案]B[解析]∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝3，∵tanA＋tanB＝233，∴tanAtanB＝13.2．在△ABC中，若cosA＝45，cosB＝513，则cosC的值是()A.1665B.5665C.1665或5665D．－1665[答案]A[解析]在△ABC中，0Aπ，0Bπ，cosA＝45，cosB＝513，∴sinA＝35，sinB＝1213，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝35×1213－45×513＝1665，故选A.3．(2010·吉林省质检)对于函数f(x)＝sinx＋cosx，下列命题中正确的是()A．∀x∈R，f(x)2B．∃x∈R，f(x)2C．∀x∈R，f(x)2D．∃x∈R，f(x)2[答案]B[解析]∵f(x)＝2sinx＋π4≤2，∴不存在x∈R使f(x)2且存在x∈R，使f(x)＝2，故A、C、D均错．4．(文)(2010·北京东城区)在△ABC中，如果sinA＝3sinC，B＝30°，那么角A等于()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]D[解析]∵△ABC中，B＝30°，∴C＝150°－A，∴sinA＝3sin(150°－A)＝32cosA＋32sinA，∴tanA＝－3，∴A＝120°.(理)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6[答案]C[解析]∵α、β均为锐角，∴－π2α－βπ2，∴cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，∴sinα＝55，∴cosα＝1－552＝255.∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝22.∵0βπ2，∴β＝π4，故选C.5．(文)(2010·广东惠州一中)函数y＝sinπ3－2x＋sin2x的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π[答案]B[解析]y＝32cos2x－12sin2x＋sin2x＝sin2x＋π3，∴周期T＝π.(理)函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为()A．5B.92C.12D.52[答案]C[解析]f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝32sin2x－2cos2x－2＝52sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝43，所以f(x)的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2010·温州中学)已知向量a＝(sin75°，－cos75°)，b＝(－cos15°，sin15°)，则|a－b|的值为()A．0B．1C.2D．2[答案]D[解析]∵|a－b|2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a－b|＝2.(理)(2010·鞍山一中)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈0，π2，若a∥b，则tanα－π4＝()A.17B．－17C.27D．－27[答案]B[解析]∵a∥b，∴1－4cos2α＝sinα(3sinα－2)，∴5sin2α＋2sinα－3＝0，∴sinα＝35或sinα＝－1，∵α∈0，π2，∴sinα＝35，∴tanα＝34，∴tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝－17.7．要使sinα－3cosα＝4m－64－m有意义，则m的取值范围是________．[答案][－1，73][解析]∵sinα－3cosα＝2(sinαcosπ3－sinπ3cosα)＝2sin(α－π3)∈[－2,2]，∴－2≤4m－64－m≤2.由4m－64－m≥－2得，－1≤m4；由4m－64－m≤2得，m≤73或m4，∴－1≤m≤73.8．(2010·上海奉贤区调研)已知α，β∈(0，π2)，且tanα·tanβ1，比较α＋β与π2的大小，用“”连接起来为________．[答案]α＋βπ2[解析]∵tanα·tanβ1，α，β∈0，π2，∴sinα·sinβcosα·cosβ1，∴sinα·sinβcosα·cosβ，∴cos(α＋β)0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋βπ2.1.(2011·潍坊月考)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为()A.13B．－13C.79D．－79[答案]D[解析]cos(2π3＋2α)＝2cos2(π3＋α)－1＝2cos2[π2－(π6－α)]－1＝2sin2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.2．(文)(2010·河南许昌调研)已知sinβ＝35(π2βπ)，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝()A．1B．2C．－2D.825[答案]C[解析]∵sinβ＝35，π2βπ，∴cosβ＝－45，∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.(理)(2010·杭州模拟)已知sinx－siny＝－23，cosx－cosy＝23，且x，y为锐角，则tan(x－y)＝()A.2145B．－2145C．±2145D．±51428[答案]B[解析]两式平方相加得：cos(x－y)＝59，∵x、y为锐角，sinx－siny0，∴xy，∴sin(x－y)＝－1－cos2x－y＝－2149，∴tan(x－y)＝sinx－ycosx－y＝－2145.3．(2011·温州月考)已知向量a＝(sin(α＋π6)，1)，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sin(α＋4π3)等于()A．－34B．－14C.34D.14[答案]B[解析]a·b＝4sinα＋π6＋4cosα－3＝23sinα＋6cosα－3＝43sinα＋π3－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sinα＋π3＝－14，故选B.4．已知tanα、tanβ是关于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0的两实根，则sinα＋βcosα－β＝________.[答案]1[解析]因为sinα＋βcosα－β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ；∵tanα，tanβ为方程的两根，∴tanα＋tanβ＝3tanα·tanβ＝2，∴sinα＋βcosα－β＝31＋2＝1.5．(文)已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，则sinα＝________.[答案]3130130[解析]∵π2απ，∴π2α2π.又－π2β0，∴0－βπ2，π2α－β5π2，而sin(2α－β)＝350，∴2π2α－β5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2β0且sinβ＝－1213，∴cosβ＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ＝45×513－35×(－1213)＝5665.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝9130.又α∈(π2，π)，∴sinα＝3130130.(理)求值：2cos10°－sin20°cos20°＝________.[答案]3[解析]原式＝2cos30°－20°－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝3.6．(文)(2011·珠海模拟)已知A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，求A＋B的值．[解析]∵A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－255×(－31010)－55×1010＝22，又∵π2Aπ，π2Bπ，∴πA＋B2π，∴A＋B＝7π4.(理)(2010·北京延庆县模考)已知函数f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6－2cos2x.(1)求函数f(x)的值域及最小正周期；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．[解析](1)f(x)＝32sin2x＋12cos2x＋32sin2x－12cos2x－(cos2x＋1)＝232sin2x－12cos2x－1＝2sin2x－π6－1.由－1≤sin2x－π6≤1得，－3≤2sin2x－π6－1≤1.可知函数f(x)的值域为[－3,1]．且函数f(x)的最小正周期为π.(2)由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)解得，kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．所以y＝f(x)的单调增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z)．7．(文)(2011·成都二诊)已知函数f(x)＝2sinxcos(x＋π6)－cos2x＋m.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[－π4，π4]时，函数f(x)的最小值为－3，求实数m的值．[解析](1)∵f(x)＝2sinxcos(x＋π6)－cos2x＋m＝2sinx(32cosx－12sinx)－cos2x＋m＝3sinxcosx－sin2x－cos2x＋m＝32sin2x－1－cos2x2－cos2x＋m＝32sin2x－12cos2x－12＋m＝sin(2x－π6)－12＋m.∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵－π4≤x≤π4，∴－π2≤2x≤π2，∴－2π3≤2x－π6≤π3.∴－1≤sin(2x－π6)≤32.∴f(x)的最小值为－1－12＋m.由已知，有－1－12＋m＝－3.∴m＝－32.(理)(2011·晋中一模)已知sinα＋cosα＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)．(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．[解析](1)由题意得(sinα＋cosα)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45，于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425.又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425.又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos2α＝1＋cos2α2＝45，∴cosα＝255，sinα＝55(α∈(0，π4))．∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝255×(－2425)－55×725＝－11525.1．已知α、β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，则tan(α＋β)的值为()A．－1B．1C.3D．不存在[答案]B[解析]tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα＝1－tanα1＋tanα＝tanπ4－α，∵π4－α，β∈－π2，π2且y＝tanx在－π2，π2上是单调增函数，∴