2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学3-5

1.(文)(2011·安徽合肥市质检)已知sin(α＋π4)＝14，则sin2α的值为()A.78B.158C．－158D．－78[答案]D[解析]由已知得sinα＋cosα＝24，两边平方得1＋2sinαcosα＝18，即sin2α＝－78，故选D.(理)已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为()A.1010B．－1010C.31010D．－31010[答案]C[解析]设该等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝π2－α2，0α2π2，∵2cos2α2－1＝cosα，∴sinβ＝sin(π2－α2)＝cosα2＝cosα＋12＝31010，故选C.2．(文)(2011·福建文，9)若α∈(0，π2)，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.3[答案]D[解析]sin2α＋cos2α＝sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝14，∵α∈(0，π2)，∴cosα＝12，sinα＝32，∴tanα＝3.(理)已知tanα＝－2，则14sin2α＋25cos2α的值是()A.257B.725C.1625D.925[答案]B[解析]14sin2α＋25cos2α＝14sin2α＋25cos2αsin2α＋cos2α＝14tan2α＋25tan2α＋1＝725.3．(2011·陕西宝鸡质检)设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα的值为()A．2B.3C．1D.33[答案]C[解析]由已知得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，所以cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)，因为β为锐角，所以sinβ＋cosβ≠0，所以sinα＝cosα，即tanα＝1，故选C.4．设5π2θ3π，且|cosθ|＝15，那么sinθ2的值为()A.105B．－105C．－155D.155[答案]C[解析]∵5π2θ3π，∴cosθ0，∴cosθ＝－15.∵5π4θ23π2，∴sinθ20，又cosθ＝1－2sin2θ2，∴sin2θ2＝1－cosθ2＝35，∴sinθ2＝－155.5．(文)已知tanα2＝3，则cosα＝()A.45B．－45C.415D．－35[答案]B[解析]cosα＝cos2α2－sin2α2＝cos2α2－sin2α2cos2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.(理)(2011·浙江杭州质检)已知tan(α＋π4)＝12，且－π2α0，则2sin2α＋sin2αcosα－π4等于()A．－255B．－3510C．－31010D.255[答案]A[解析]由已知得tanα＋11－tanα＝12，解得tanα＝－13，即sinαcosα＝－13，cosα＝－3sinα，代入sin2α＋cos2α＝1中，结合－π2α0，可得sinα＝－1010，所以2sin2α＋sin2αcosα－π4＝22sinαsinα＋cosαsinα＋cosα＝22sinα＝22×(－1010)＝－255，故选A.6．已知cos(α－β)＝35，sinβ＝－513，且α∈0，π2，β∈－π2，0，则sinα＝()A.3365B.6365C．－3365D．－6365[答案]A[解析]∵0απ2－π2β0，∴0α－βπ，又cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝45；∵－π2β0，且sinβ＝－513，∴cosβ＝1213.从而sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝3365.7．(2010·江苏泰州模拟)已知sinα＝35，cosβ＝35，其中α，β∈(0，π2)，则α＋β＝________.[答案]π2[解析]∵α，β∈(0，π2)，sinα＝35，cosβ＝35，∴cosα＝45，sinβ＝45，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×35－35×45＝0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2.8．(2010·安徽省两校三地模拟)已知：sinα＋cosα＝15，0απ，则cosα2＝________.[答案]55[解析]由sinα＋cosα＝15sin2α＋cos2α＝10απ得，sinα＝45cosα＝－35，∴cosα2＝1＋cosα2＝55.1.在△ABC中，A、B、C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2·tanC2的值是()A．±3B．－3C.3D.33[答案]C[解析]∵A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，A＋C＝2π3，∴tanA2＋tanC2＋3tanA2·tanC2＝tanA2＋C21－tanA2·tanC2＋3tanA2tanC2＝3，故选C.2．(文)(2011·哈尔滨六中一模)sin235°－12sin20°的值为()A.12B．－12C．－1D．1[答案]B[解析]sin235°－12sin20°＝2sin235°－12sin20°＝－cos70°2sin20°＝－sin20°2sin20°＝－12，故选B.(理)(2011·天津蓟县模拟)函数f(x)＝cos2x＋3sinxcosx在区间[－π4，π3]上的最大值为()A.12B.1＋32C．1D.32[答案]D[解析]f(x)＝1＋cos2x2＋32sin2x＝sin2x＋π6＋12∵－π4≤x≤π3，∴－π3≤2x＋π6≤5π6，∴－32≤sin2x＋π6≤1，∴f(x)的最大值为32.3.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为()A.14B.12C．2D．4[答案]C[解析]原式＝sin30°－20°＋sin30°＋20°sin45°－10°·sin45°＋10°＝2sin30°cos20°12cos210°－12sin210°＝cos20°12cos20°＝2.4．(文)在△ABC中，若sinAsinB＝cos2C2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形[答案]B[解析]∵sinAsinB＝cos2C2，∴12[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12(1＋cosC)，∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，∴cos(A－B)＝1，∵－πA－Bπ，∴A－B＝0，∴△ABC为等腰三角形．(理)(2011·北京四中测试)实数a，b均不为零，若asinα＋bcosαacosα－bsinα＝tanβ，且β－α＝π6，则ba＝()A.3B.33C．－3D．－33[答案]B[解析]∵tanβ＝asinα＋bcosαacosα－bsinα＝tanα＋ba1－tanα·ba，令tanφ＝ba，∵β－α＝π6，∴tan(α＋π6)＝tan(α＋φ)，∴α＋φ＝α＋π6＋kπ(k∈Z)，∴tanφ＝33.5．已知sinθ＋cosθ＝15，且π2θ3π4，则cos2θ的值是________．[答案]－725[解析]由sinθ＋cosθ＝15sin2θ＋cos2θ＝1消去cosθ得，sin2θ－15sinθ－7225＝0，∵π2θ3π4，∴sinθ0，∴sinθ＝45，∴cos2θ＝1－2sin2θ＝－725.6．(文)(2010·北京理)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析](1)f(π3)＝2cos2π3＋sin2π3－4cosπ3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－23)2－73，x∈R因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝23时，取最小值－73.(理)(2010·天津理)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值．(2)若f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值．[解析](1)解：由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6.所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上为减函数，又f(0)＝1，fπ6＝2，fπ2＝－1，所以函数f(x)在区间0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)解：由(1)可知f(x0)＝2sin2x0＋π6.又因为f(x0)＝65，所以sin2x0＋π6＝35.由x0∈π4，π2，得2x0＋π6∈2π3，7π6，从而cos2x0＋π6＝－1－sin22x0＋π6＝－45.所以cos2x0＝cos2x0＋π6－π6＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sinπ6＝3－4310.7．(2010·哈三中)已知向量m＝3cosx4，cosx4，n＝sinx4，cosx4.(1)若m·n＝3＋12，求cosx＋π3的值；(2)记f(x)＝m·n－12，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．[解析](1)m·n＝3＋12＝3cosx4sinx4＋cos2x4＝32sinx2＋12cosx2＋12，即sinx2＋π6＝32，所以cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝－12；(2)f(x)＝m·n－12＝sinx2＋π6则f(A)＝sinA2＋π6因为(2a－c)cosB＝bcosC，则(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC即2sinAcosB＝sinA，则B＝π4∴A∈0，34π，A2＋π6∈π6，13π24则f(A)∈12，1.1．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于()A．－a2B.a2C．－aD．a[答案]C[解析]sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)·cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a.故选C.2．(2010·揭阳市模考)若sinx＋cosx＝13，x∈(0，π)，则sinx－cosx的值为()A．±173B．－173C.13D.173[答案]D[解析]由sinx＋cosx＝13两边平方得，1＋2sinxcosx＝19，∴sin2x＝－890，∴x∈π2，π，∴(sinx－cosx)2＝1－sin2x＝179且sinxcosx，∴sinx－cosx＝173，故选D.3．已知tanθ1，且sinθ＋cosθ0，则cosθ的取值范围是()A．(－22，0)B．(－1，－22)C．(0，22)D．(22，1)[答案]A[解析]∵tanθ1，∴kπ＋π4θkπ＋π2，k∈Z，又∵sinθ＋cosθ0，∴kπ＋3π4θkπ＋π，k∈Z.∴2kπ＋5π4θ2kπ＋3π2，k∈Z，因此－22cosθ0，选A.4．(2010·湖北黄冈模拟)若5π2≤