2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学3-7

1.(2011·舟山期末)某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为()A.3B．23C．23或3D．3[答案]C[解析]如图，△ABC中，AC＝3，BC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，∴3＝x2＋9－6x·cos30°，∴x＝3或23.2．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()A．201＋33mB．201＋32mC．20(1＋3)mD．30m[答案]A[解析]如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB＝20m，所以BM＝20m.又在Rt△AMD中，DM＝20m，∠ADM＝30°，∴AM＝DMtan30°＝2033(m)，∴AB＝AM＋MB＝2033＋20＝201＋33m.3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西，另一灯塔在船的南75°西，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里[答案]C[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．4．(文)(2010·广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()km.()A．aB.2aC．2aD.3a[答案]D[解析]依题意得∠ACB＝120°.由余弦定理cos120°＝AC2＋BC2－AB22AC·BC∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2－12＝3a2∴AB＝3a.故选D.(理)(2010·北师大附中模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．202海里D．203海里[答案]A[解析]如图，由条件可知△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°，由正弦定理得BCsin30°＝20sin45°，∴BC＝102，故选A.5．在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为________m．()A．237B．227C．247D．257[答案]A[解析]如图，∠D＝45°，∠ACB＝60°，DC＝100，∠DAC＝15°，∵AC＝DC·sin45°sin15°，∴AB＝AC·sin60°＝100·sin45°·sin60°sin15°＝100×22×326－24≈237.∴选A.6．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.[答案]302[解析]如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在三角形AMB中，由正弦定理得60sin45°＝BMsin30°，解得BM＝302(km).1.(2011·沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°[答案]C[解析]如图，BD＝1，∠DBC＝20°，∠DAC＝10°，在△ABD中，由正弦定理得1sin10°＝ADsin160°，∴AD＝2cos10°.2．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．103mB．1003mC．2030mD．30m[答案]A[解析]设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝103，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝300，∴BC＝103.3.如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.[答案]1063[解析]由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin45°＝10sin60°，∴x＝1063.4．(2011·洛阳部分重点中学教学检测)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为________．[答案]32[解析]由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ＝QR，不妨设其长度为1.在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ，在△OPR中，由正弦定理得2sin120°＝OPsin∠ORP，在△ORQ中，1sin30°＝OQsin∠ORQ，两式两边同时相除得OQOP＝tan∠OPQ＝32.5．(2011·东北三校二模)港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？[解析]在△BDC中，由余弦定理知，cos∠CDB＝BD2＋CD2－BC22BD·CD＝－17，∴sin∠CDB＝437.∴sin∠ACD＝sin(∠CDB－π3)＝sin∠CDBcosπ3－cos∠CDBsinπ3＝5314.在△ACD中，由正弦定理知ADsin∠ACD＝CDsinA⇒AD＝5314×21÷32＝15.∴此时轮船距港口还有15海里．6.(2011·郑州一测)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，观察点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得最高点H的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)[解析]由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－217×340＝x－40，在△ABC内，由余弦定理：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：|CH|sin∠CAH＝|AC|sin∠AHC，可得|CH|＝|AC|·sin∠CAHsin∠AHC＝1406.答：该仪器的垂直弹射高度CH为1406米．7．(2011·茂名期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝π3，且△ABC的面积为3，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．[解析](1)∵c＝2，C＝π3，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面积为3，∴12absinC＝3，∴ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0Aπ，∴A＝π2，△ABC为直角三角形；当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．8.如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一轮船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？[解析]在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°.由正弦定理知BCsinA＝ACsinB，即30sin15°＝ACsin30°.AC＝30sin30°sin15°＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)(海里)．于是，A到BC所在直线的距离为：ACsin45°＝15(6＋2)×22＝15(3＋1)≈40.98(海里)．它大于38海里，所以船继续向南航行，没有触礁的危险．1．(2010·浙江金华十校模考)在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B处沿直线行驶，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°，俯角60°的C处，则轮船航行速度是________千米/小时．[答案]230[解析]如图，∵B在岛的北偏东30°，C在岛的北偏西60°，∴∠BAC＝90°，∵B点俯角30°，∴∠APB＝60°，∵C点俯角60°，∴∠APC＝30°，又AP＝1，∴AB＝3，AC＝33，∴BC＝AB2＋AC2＝303，又从B到C行驶了10分＝16小时，∴船航行速度为每小时303×6＝230km.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S＝14(b2＋c2－a2)，若a＝10，则bc的最大值是______．[答案]100＋502[解析]由题意得，12bcsinA＝14(b2＋c2－a2)，∴a2＝b2＋c2－2bcsinA，结合余弦定理得，sinA＝cosA，∴∠A＝π4，又根据余弦定理得100＝b2＋c2－2bc≥2bc－2bc，∴bc≤1002－2＝100＋502.3．(2010·重庆文)设△ABC的内角A、B、C对边长分别为a、b、c且3b2＋3c2－3a2＝42bc.(1)求sinA的值：(2)求2sinA＋π4sinB＋C＋π41－cos2A的值．[解析](1)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝223，又0Aπ，故sinA＝1－cos2A＝13.(2)原式＝2sinA＋π4sinπ－A＋π41－cos2A＝2sinA＋π4sinA－π42sin2A＝222sinA＋22cosA22sinA－22cosA2sin2A＝sin2A－cos2A2sin2A＝－72.4．在△ABC中，tanA＝14，tanB＝35.(1)求角C的大小；(2)若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．[解析](1)∵C＝π－(A＋B)，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－14＋351－14×35＝－1.又∵0Cπ，∴C＝3π4.(2)∵C＝3π4，∴AB边最大，即AB＝17.又∵tanAtanB，A、B∈0，π2，∴角A最小，BC边为最小边．由tanA＝sinAcosA＝14sin2A＋cos2A＝1，且A∈0，π2，得sinA＝1717.由ABsinC＝BCsinA得，BC＝AB·sinAsinC＝2.所以，最小边BC＝2.5．(2010·广东玉湖中学)如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD，AD＝10km，AB＝14km，∠BAD＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C的距离(精确到0.1km)．参