2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学9-4

1.(文)(2011·泰安模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β[答案]D[解析]A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．(理)(2011·邯郸期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是()A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β[答案]D[解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．2．(2010·北京顺义一中月考)已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，α∥β，则l∥β[答案]C[解析]如下图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取平面ABD1A1为α，平面ABCD为β，B1C1为l，则排除A、B；又取平面ADD1A1为α，平面BCC1B1为β，B1C1为l，排除D.3．(2010·广东惠州一模)已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n，m为异面直线，n⊂α，n∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．3个B．2个C．1个D．0个[答案]B[解析]垂直于同一直线的两个平面平行，故①正确；对于②，若平面α上的三点在平面β的异侧，则它们相交，故②错；根据线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，可知③正确．4．(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误．．的是()A．若m∥β，则m∥lB．若m∥l，则m∥βC．若m⊥β，则m⊥lD．若m⊥l，则m⊥β[答案]D[解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．5．(文)(2010·福建福州市)对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是()A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n[答案]D[解析]正三棱锥P－ABC的侧棱PA、PB与底面成角相等，但PA与PB相交应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C.∵m、n共面，设经过m、n的平面为β，∵m⊂α，∴α∩β＝m，∵n∥α，∴n∥m，故D正确．(理)(2011·安徽省合肥市高三教学质量检测)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若a⊥α，b∥α，则a⊥bB．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥bD．若a∥α，a∥β，则α∥β[答案]D[解析]对于选项D，可能会出现α∥β或α与β相交．故选项D错误．[点评]对于A，过b作平面δ∩α＝b1，则∵b∥α，∴b∥b1，∵a⊥α，∴a⊥b1，∴a⊥b；对于B，∵a⊥α，b∥a，∴b⊥α，∵b⊂β，∴α⊥β；对于C，∵a⊥α，α∥β，∴a⊥β，又∵b⊥β，∴a∥b.6．(2011·青岛模拟)设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为()A．3B．2C．1D．0[答案]C[解析]l⊥αl∥β⇒α⊥β；α⊥βl⊥α⇒/l∥β，此时可能l⊂β，l∥βα⊥β⇒/l⊥α，此时l与α还可能平行、斜交，故选C.7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________．[答案]64cm2[解析]如下图，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，∴E为DD1的中点，易求S△ACE＝64cm2.8．(2011·浙江五校联考)已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n；③若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β；④若n∥α，n∥β，α∩β＝m，那么m∥n.其中正确命题的序号是________．[答案]②④[解析]命题①中，直线m，n不一定相交，即命题①不正确；命题②中，垂直于同一个平面的两个平面的位置关系可以平行或相交，若相交，其交线必与第三个平面垂直，∴m⊥γ，又n⊂γ，∴m⊥n，即命题②正确；若m∥n，m⊥α，则n⊥α，又α⊥β，则n∥β或n⊂β，即命题③不正确；由线面平行的判定与性质定理可知命题④正确．则正确命题的序号为②④.1.(文)(2011·浙江省温州市高三适应性测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nB．l⊥β，α⊥β⇒l∥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，l⊥α⇒l⊥β[答案]D[解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l⊂α这种情形；对于选项C，可能出现n⊂α这种情形．故选D.(理)(2011·河南省郑州市模拟)设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b[答案]C[解析]∵a⊥α，a∥b，∴b⊥α.又b⊥β，∴α∥β.选项C正确，对于A选项可能出现两直线相交或异面的情况，选项B中可能出现两平面相交的情况，选项D可能出现a与b异面的情况．2．(文)一个正方体纸盒展开后如下图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF②AB与CM成60°③EF与MN是异面直线④MN∥CD其中正确的是()A．①②B．③④C．②③D．①③[答案]D[解析]本题考查学生的空间想象能力，将其还原成正方体如下图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD.只有①③正确，故选D.(理)(2011·广东省广州市质检)如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条[答案]D[解析]由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行，故选D.3.(2010·福建理)如上图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确．．．的是()A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台[答案]D[解析]∵EH∥A1D1，∴EH∥B1C1∴B1C1∥平面EFGH，B1C1∥FG，∴Ω是棱柱，故选D.4．(2011·苏州模拟)下列命题中，是假命题的是()A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件[答案]D[解析]三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β内经过B点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c∥d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥l，∴a∥b∥c∥d，故C真；在正三棱锥P－ABC中，PA、PB与底面ABC成等角，但PA与PB相交，故D假．5．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号)．[答案]①③[解析]如图①，∵MN∥AD，NP∥AC，∴平面MNP∥平面ADBC，∴AB∥平面MNP.如图②，假设AB∥平面MNP，设BD∩MP＝Q，则NQ为平面ABD与平面MNP的交线，∴AB∥NQ，∵N为AD的中点，∴Q为BD的中点，但由M、P分别为棱的中点知，Q为BD的14分点，矛盾，∴AB∥＼平面MNP.如图③，∵BD綊AC，∴四边形ABDC为平行四边形，∴AB∥CD，又∵MP为棱的中点，∴MP∥CD，∴AB∥MP，从而可得AB∥平面MNP.如图④，假设AB∥平面MNP，并设直线AC∩平面MNP＝D，则有AB∥MD，∵M为BC中点，∴D为AC中点，这样平面MND∥平面AB，显然与题设条件不符，∴AB∥＼平面MNP.6．(文)(2011·广东揭阳一模)如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．(1)求证：GH∥平面CDE；(2)若CD＝2，DB＝42，求四棱锥F－ABCD的体积．[解析](1)证法1：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.又EF＝AD＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴H为FC的中点．又∵G是FD的中点，∴GH∥CD.∵GH⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE.证法2：连接EA，∵ADEF是正方形，∴G是AE的中点．∴在△EAB中，GH∥AB.又∵AB∥CD，∴GH∥CD.∵HG⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴GH∥平面CDE.(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵AD＝BC＝6，∴FA＝AD＝6.又∵CD＝2，DB＝42，CD2＋DB2＝BC2，∴BD⊥CD.∵S▱ABCD＝CD·BD＝82，∴VF－ABCD＝13S▱ABCD·FA＝13×82×6＝162.(理)(2010·安徽江南十校联考)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.(1)求证：BB1⊥平面ABC；(2)求证：BC1∥平面CA1D；(3)求三棱锥B1－A1DC的体积．[解析](1)∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC.(2)连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点，又D是AB的中点，则DE∥BC1，又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.(3)由(1)知CD⊥平面AA1B1B，故CD是三棱锥C－A1B1D的高，在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝22，CD＝2，又BB1＝2，∴VB1－A1DC＝VC－A1B1D＝13S△A1B1D·CD＝16A1B1×B1B×CD＝16×22×2×2＝43.7．(文)(2010·安徽合肥质检)如下图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC＝CD＝BO＝PO，EA＝AO＝12CD.(1)求证：BC⊥平面ABPE；(2)直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不