2013走向高考数学3-1

基础巩固强化1.(文)已知函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝()A.18B.14C.12D．1[答案]B[解析]∵y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，∴x0＝12a∴y0＝12a代入y＝ax2＋1得，12a＝14a＋1，∴a＝14故选B.(理)(2011·山东文，4)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15[答案]C[解析]由y＝x3＋11知y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，令x＝0得y＝9，故选C.2．(文)曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2[答案]A[解析]∵y′＝x′x＋2－xx＋2′x＋22＝2x＋22，∴k＝y′|x＝－1＝2－1＋22＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.(理)(2012·烟台调研)设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于()A．2B．－2C．－12D.12[答案]B[解析]∵f′(x)＝x－1－x＋1x－12＝－2x－12，∴f′(3)＝－12，由条件知，－12×(－a)＝－1，∴a＝－2.3．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝a(x＋b2a)2－b24a，顶点(－b2a，－b24a)在第三象限，故选C.4．(文)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0[答案]B[解析]f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2，故选B.[点评]要善于观察，由f′(x)＝4ax3＋2bx知，f′(x)为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.(理)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值是()A.12B．1C.32D．2[答案]D[解析]由条件知，y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率f′(1)＝12，又点(1，f(1))在切线x－2y＋1＝0上，∴f(1)＝1，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2×12＝2.5．(文)若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为()A.π2B．0C．钝角D．锐角[答案]C[解析]y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝2e4sin(4＋π4)0，故倾斜角为钝角，选C.(理)已知f(x)＝logax(a1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则()A．ABCB．ACBC．BACD．CBA[答案]A[解析]记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝fa＋1－faa＋1－a，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以，ABC.6．(文)已知函数f(x)＝kcosx的图象经过点Pπ3，1，则函数图象上过点P的切线斜率等于()A．1B.3C．－3D．－1[答案]C[解析]fπ3＝kcosπ3＝1⇒k＝2，f′(x)＝－ksinx，∴点P处切线斜率为k′＝f′π3＝－2sinπ3＝－3.(理)设函数f(x)＝sinωx＋π6－1(ω0)的导函数f′(x)的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程是()A．x＝π9B．x＝π6C．x＝π3D．x＝π2[答案]A[解析]f′(x)＝ωcosωx＋π6的最大值为3，即ω＝3，∴f(x)＝sin3x＋π6－1.由3x＋π6＝π2＋kπ得，x＝π9＋kπ3(k∈Z)．故A正确．7．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.[答案]1[解析]由y′|x＝1＝2a＝2得a＝1.8．(2012·苏州十校联考)已知函数f(x)＝f′(π2)sinx＋cosx，则f(π4)＝________.[答案]0[解析]由条件知，f′(x)＝f′(π2)cosx－sinx.∴f′(π2)＝－1，∴f(x)＝－sinx＋cosx，∴f(π4)＝0.9．(2011·宁波市期末)对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列ann＋1的前n项和是________．[答案]2n＋1－2[解析]∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)－xn.f′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)．令x＝0得，y＝(n＋1)·2n，∴an＝(n＋1)·2n，∴数列ann＋1的前n项和为22n－12－1＝2n＋1－2.10．(文)已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．[解析]y＝13x3＋43，则y′＝x2.(1)由题意可知点P(2,4)为切点，y′|x＝2＝22＝4，所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)由题意可知点P(2,4)不一定为切点，故设切点为(x0，13x30＋43)，y′|x＝x0＝x20，曲线过点P(2,4)的切线方程为y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)，所以4－(13x30＋43)＝x20(2－x0)，x30－3x20＋4＝0⇔(x30＋1)－3(x20－1)＝0⇔(x0＋1)(x20－4x0＋4)＝0.解得x0＝－1或x0＝2，即切点为(－1,1)或(2,4)．所以曲线过点P(2,4)的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.(理)设函数f(x)＝ax＋bx的图象在点M(3，f(3))处的切线方程为2x－3y＋23＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解析](1)因为切点在切线上，所以将点M坐标代入切线方程解得f(3)＝433.∵f(x)＝ax＋bx，∴f′(x)＝a－bx2，根据题意，得关于a、b的方程组a－b3＝23，3a＋b3＝433，解得a＝1，b＝1.所以f(x)的解析式为f(x)＝x＋1x.(2)由f′(x)＝1－1x2(x≠0)，令f′(x)0，解得－1x0或0x1.所以f(x)的单调递减区间为(－1,0)，(0,1)．(3)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1－1x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1－1x20)(x－x0)，即y－(x0＋1x0)＝(1－1x20)(x－x0)．令x＝0，得y＝2x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，2x0)．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为122x0|2x0|＝2.能力拓展提升11.(文)函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为()[答案]A[解析]∵f(x)＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx，∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，排除C；∵f′(0)＝1，排除D；由f′π2＝－π20，f′(2π)＝10，排除B，故选A.(理)函数f(x)＝e2x的图象上的点到直线2x－y－4＝0的距离的最小值是()A.3B.5C.322D.355[答案]B[解析]设l为与直线2x－y－4＝0平行的函数f(x)＝e2x的图象的切线，切点为(x0，y0)，则kl＝f′(x0)＝2e2x0＝2，∴x0＝0，y0＝1，∴切点(0,1)到直线2x－y－4＝0的距离d＝55＝5即为所求．12．(文)已知函数f(x)＝xp＋qx＋r，f(1)＝6，f′(1)＝5，f′(0)＝3，an＝1fn，n∈N＋，则数列{an}的前n项和是()A.nn＋1B.nn＋2C.n＋12n＋4D.n2n＋4[答案]D[解析]∵f′(x)＝pxp－1＋q，由条件知1＋q＋r＝6，p＋q＝5，q＝3.∴p＝2，q＝3，r＝2.∴f(x)＝x2＋3x＋2.∴an＝1fn＝1n2＋3n＋2＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2∴{an}的前n项和为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝12－13＋13－14＋…＋1n＋1－1n＋2＝12－1n＋2＝n2n＋4.(理)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α、β、γ，则α、β、γ的大小关系为()A．αβγB．βαγC．γαβD．βγα[答案]C[解析]由g(x)＝g′(x)得，x＝1，∴α＝1，由h(x)＝h′(x)得，ln(x＋1)＝1x＋1，故知1x＋12，∴0x1，即0β1，由φ(x)＝φ′(x)得，x3－1＝3x2，∴x2(x－3)＝1，∴x3，故γ3，∴γαβ.[点评]对于ln(x＋1)＝1x＋1，假如0x＋11，则ln(x＋1)0，1x＋11矛盾；假如x＋1≥2，则1x＋1≤12，即ln(x＋1)≤12，∴x＋1≤e，∴x≤e－1与x≥1矛盾．13．(2013·武汉市部分学校12月联考)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为()A．y＝3x＋1B．y＝－3xC．y＝－3x＋1D．y＝3x－3[答案]B[解析]∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0，∴f(x)＝x3－3x，f′(0)＝－3，∴所求切线方程为y＝－3x.14．(文)(2012·唐山二模)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)0，对于任意实数x，都有f(x)≥0，则f1f′0的最小值为________．[答案]2[解析]f′(x)＝2ax＋b，由条件f′(0)0得b0，又对任意x∈R都有f(x)≥0，∴a0，b2－4ac≤0.∴b≤2ac.∴f1f′0＝a＋b＋cb＝a＋cb＋1≥2acb＋1≥2等号在b＝2ac，a＝c.即b＝2a＝2c时成立．∴f1f′0的最小值为2.(理)设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0φπ)，若f(x)＋f′(x)为奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析]f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，由条件知cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)＝2sinπ6－3x－φ＝－2sin3x＋φ－π6为奇函数，且0φπ，∴φ＝π6.15．求下列函数的导数：(1)y＝15x5－43x3＋3x2＋2；(2)y＝(3x3－4x)