2013走向高考数学4-4

基础巩固强化1.(文)(2012·豫南九校联考)函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π，则a的值是()A．－1B．1C．2D．±1[答案]D[解析]y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，T＝2π2|a|＝π|a|＝π，∴a＝±1.(理)(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)定义行列式运算a1a2a3a4＝a1a4－a2a3.将函数f(x)＝sin2x3cos2x1的图象向左平移π6个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心的是()A．(π4，0)B．(π2，0)C．(π3，0)D．(π12，0)[答案]B[解析]根据行列式的定义可知f(x)＝sin2x－3cos2x＝2sin(2x－π3)，向左平移π6个单位得到g(x)＝2sin[2(x＋π6)－π3]＝2sin2x，所以g(π2)＝2sin(2×π2)＝2sinπ＝0，所以(π2，0)是函数的一个对称中心，选B.2．(2012·平顶山、许昌新乡二调)设△ABC的三个内角A、B、C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案]C[解析]m·n＝3sinAcosB＋3sinBcosA＝3sin(A＋B)＝3sinC，cos(A＋B)＝－cosC，∵m·n＝1＋cos(A＋B)，∴3sinC＝1－cosC，∴sin(C＋π6)＝12，∵0Cπ，∴C＝2π3.3．(文)(2012·深圳市一调)已知直线l：xtanα－y－3tanβ＝0的斜率为2，在y轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝()A．－73B.73C.57D．1[答案]D[解析]由条件得tanα＝2，tanβ＝－13，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝2＋－131－2×－13＝1.(理)(2011·北京东城区期末)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为()A.14B.13C.12D.53[答案]B[解析]∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝3，∵tanA＋tanB＝233，∴tanAtanB＝13.4．已知实数a、b均不为零，asin2＋bcos2acos2－bsin2＝tanβ，且β－2＝π6，则ba＝()A.3B.33C．－3D．－33[答案]B[解析]tanβ＝tan(2＋π6)＝tan2＋331－33tan2＝asin2＋bcos2acos2－bsin2＝atan2＋ba－btan2，所以a＝1，b＝33，故ba＝33.5．(文)在△ABC中，如果sinA＝3sinC，B＝30°，那么角A等于()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]D[解析]∵△ABC中，B＝30°，∴C＝150°－A，∴sinA＝3sin(150°－A)＝32cosA＋32sinA，∴tanA＝－3，∴A＝120°.(理)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6[答案]C[解析]∵α、β均为锐角，∴－π2α－βπ2，∴cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，∵sinα＝55，∴cosα＝1－552＝255.∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝22.∵0βπ2，∴β＝π4，故选C.6．(文)函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为()A．5B.92C.12D.52[答案]C[解析]f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝32sin2x－2cos2x－2＝52sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝43，所以f(x)的最大值是52－2＝12.故选C.(理)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈0，π2，若a∥b，则tanα－π4＝()A.17B．－17C.27D．－27[答案]B[解析]∵a∥b，∴1－4cos2α＝sinα(3sinα－2)，∴5sin2α＋2sinα－3＝0，∴sinα＝35或sinα＝－1，∵α∈0，π2，∴sinα＝35，∴tanα＝34，∴tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝－17.7．(文)要使sinα－3cosα＝4m－64－m有意义，则m的取值范围是________．[答案][－1，73][解析]∵sinα－3cosα＝2(sinαcosπ3－sinπ3cosα)＝2sin(α－π3)∈[－2,2]，∴－2≤4m－64－m≤2.由4m－64－m≥－2得，－1≤m4；由4m－64－m≤2得，m≤73或m4，∴－1≤m≤73.(理)函数f(x)＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴是直线x＝π4，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角的大小为________．[答案]3π4(或135°)[解析]f(x)的图象的对称轴过其最高点或最低点，∴f(π4)＝±a2＋b2，∴a－b2＝±a2＋b2，解得a＋b＝0.∴直线ax－by＋c＝0的斜率k＝ab＝－1，∴直线ax－by＋c＝0的倾斜角为135°(或3π4)．8．已知α、β∈(0，π2)，且tanα·tanβ1，比较α＋β与π2的大小，用“”连接起来为________．[答案]α＋βπ2[解析]∵tanα·tanβ1，α、β∈0，π2，∴sinα·sinβcosα·cosβ1，∴sinα·sinβcosα·cosβ，∴cos(α＋β)0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋βπ2.9．已知tanα、tanβ是关于x的一元二次方程x2＋4x－5＝0的两实根，则sinα＋βcosα－β＝________.[答案]1[解析]∵tanα、tanβ为方程x2＋4x－5＝0的两根，∴tanα＋tanβ＝－4，tanα·tanβ＝－5，∴sinα＋βcosα－β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝－41＋－5＝1.10．(文)(2012·吉林延吉市质检)已知函数f(x)＝－23sin2x＋sin2x＋3.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．[解析](1)f(x)＝3(1－2sin2x)＋sin2x＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋π3)，所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：x0π12π37π125π6πf(x)320－203故画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象如图．(理)(2012·江西赣州市期末)已知函数f(x)＝3sinxcosx－cos2x－12，x∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝3，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a、b的值．[解析](1)f(x)＝3sinxcosx－cos2x－12＝32sin2x－12cos2x－1＝sin(2x－π6)－1，∴f(x)的最小值是－2，最小正周期为π.(2)∵f(C)＝sin(2C－π6)－1＝0，即sin(2C－π6)＝1，∵0Cπ，－π62C－π611π6，∴2C－π6＝π2，∴C＝π3.∵m与n共线，∴sinB－2sinA＝0.由正弦定理asinA＝bsinB，得b＝2a，①∵c＝3，由余弦定理得，9＝a2＋b2－2abcosπ3，②解方程组①②得，a＝3，b＝23.能力拓展提升11.(文)已知sinβ＝35(π2βπ)，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝()A．1B．2C．－2D.825[答案]C[解析]∵sinβ＝35，π2βπ，∴cosβ＝－45，∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.(理)已知sinx－siny＝－23，cosx－cosy＝23，且x、y为锐角，则tan(x－y)＝()A.2145B．－2145C．±2145D．±51428[答案]B[解析]两式平方相加得：cos(x－y)＝59，∵x、y为锐角，sinx－siny0，∴xy，∴－π2x－y0，∴sin(x－y)＝－1－cos2x－y＝－2149，∴tan(x－y)＝sinx－ycosx－y＝－2145.12．(2012·东北三校联考)已知sinθ＋cosθ＝43(0θπ4)，则sinθ－cosθ的值为()A.23B．－23C.13D．－13[答案]B[解析]由sinθ＋cosθ＝43两边平方得，sin2θ＝79，∴(sinθ－cosθ)2＝1－sin2θ＝29，∵0θπ4，∴sinθcosθ，∴sinθ－cosθ＝－23.13．(2012·东城模拟)若sin(π－α)＝45，α∈(0，π2)，则sin2α－cos2α2的值等于________．[答案]425[解析]∵sin(π－α)＝45，∴sinα＝45，又∵α∈(0，π2)，∴cosα＝35，∴sin2α－cos2α2＝2sinαcosα－1＋cosα2＝2×45×35－1＋352＝425.14．(文)(2012·山西高考联合模拟)设f(x)＝asin(π－2x)＋bsin(π2＋2x)，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f(π6)|对一切x∈R恒成立，则①f(11π12)＝0②f(x)的周期为2π③f(x)既不是奇函数也不是偶函数④存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图像不相交以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)[答案]①③[解析]f(x)＝asin(π－2x)＋bsin(π2＋2x)＝asin2x＋bcos2x＝a2＋b2sin(2x＋φ)，其中，tanφ＝ba，∵f(x)≤|f(π6)|对一切x∈R恒成立，∴|f(π6)|＝a2＋b2，∴2×π6＋φ＝kπ＋π2，∴φ＝kπ＋π6，又f(x)的周期T＝π，故①③正确，②④错误．(理)已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，则sinα＝________.[答案]3130130[解析]∵π2απ，∴π2α2π.又－π2β0，∴0－βπ2，π2α－β5π2，而sin(2α－β)＝350，∴2π2α－β5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2β0且sinβ＝－1213，∴cosβ＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ＝45×513－35×(－1213)＝5665.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝9130.又α∈(π2，π)，∴sinα＝3130130.15．(文)已知A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，求A＋B的值．[解析]∵A、B均为钝角且sinA＝55，sinB＝1010，∴cosA＝－1－sin2A＝－25＝－255，cosB＝－1－sin2B＝－310＝－31010，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－255×(－31010)－55×1010＝22，又∵π2Aπ，π2Bπ，∴πA＋B2π，∴A＋B＝7π4.(理)(2011·成都二诊)已知函数f(x)＝2sinxcos(x＋π6)－cos2x＋m.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[－π4，π4]