2013走向高考数学8-2

基础巩固强化1.(文)(2011·四川文，3)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)[答案]D[解析]将一般式化为标准式(x－2)2＋(y＋3)2＝13.∴圆心坐标为(2，－3)．(理)(2011·东北育才中学期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是()A．(－∞，4)B．(－∞，0)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)[答案]A[解析]圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a0，∴a2，∴a－b4.2．方程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0表示的曲线形状是()[答案]C[解析]注意到方程(x2＋y2－4)x＋y＋1＝0等价于①x2＋y2－4＝0，x＋y＋1≥0，或②x＋y＋1＝0.①表示的是不在直线x＋y＋1＝0的左下方且在圆x2＋y2＝4上的部分；②表示的是直线x＋y＋1＝0.因此，结合各选项知，选C.3．(文)(2011·济南调研)已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0[答案]A[解析]设圆心为C(m,0)(m0)，因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以|3m＋4×0＋4|32＋42＝2，整理得：|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选A.(理)(2012·大连模拟)将圆x2＋y2＝1沿x轴正方向平移1个单位后得到圆C，若过(3,0)的直线l与圆C相切，则直线l的斜率为()A.3B．±3C.33D．±33[答案]D[解析]如图，⊙C的方程为(x－1)2＋y2＝1，由条件知，AC＝2，BC＝1，∴∠BAC＝30°，∴直线AB的倾斜角为150°，直线AD的倾斜角为30°，∴切线的斜率为±33.4．(文)(2012·日照模拟)圆心在直线y＝x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝或(x＋1)2＋(y－1)2＝2[答案]C[解析]由圆心在直线y＝x上排除B、D；由对称轴知，若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2满足题意，则(x＋1)2＋(y＋1)2＝2也必满足题意，故选C.(理)(2011·青岛市教学质量统一检测)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．2B．1＋2C．2＋22D．1＋22[答案]B[解析]圆的方程化为标准形式：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线x－y－2＝0的距离d＝|1－1－2|2＝2，所求距离的最大值为2＋1，故选B.5．(文)(2011·江南十校联考)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0[答案]D[解析]圆心C(3,0)，kCP＝－12，由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，所以MN所在直线方程是2x－y－1＝0，故选D.(理)(2012·大连模拟)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M、N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是()A．[－23，0]B．[－33，33]C．[－34，0]D．(－∞，－34]∪[0，＋∞)[答案]C[解析]由条件知圆心C(3,2)到直线的距离d≤22－32＝1，∴|3k－2＋3|1＋k2≤1，∴－34≤k≤0.6．已知不等式组x≥0，y≥0，x＋2y－4≤0.表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x－2)2＋(y－1)2＝8C．(x－4)2＋(y－1)2＝6D．(x－2)2＋(y－1)2＝5[答案]D[解析]由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.7．(2011·西安二检)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．[答案]254[解析]∵点A(1,2)在⊙O：x2＋y2＝5上，∴过A的切线方程为x＋2y＝5，令x＝0得，y＝52，令y＝0得，x＝5，∴三角形面积为S＝12×52×5＝254.8．已知圆x2＋y2＝r2在曲线|x|＋|y|＝4的内部(含边界)，则半径r的取值范围是________．[答案](0,22][解析]如图，曲线C：|x|＋|y|＝4为正方形ABCD，∵圆x2＋y2＝r2在曲线C的内部(含边界)∴0r≤|OM|＝22.9．(2012·北京模拟)与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是________．[答案]3x＋4y±24＝0[解析]设l：3x＋4y＋m＝0，令x＝0得y＝－m4，令y＝0得x＝－m3.由条件知，12·|－m4|·|－m3|＝m224＝24，∴m＝±24，故直线l方程为3x＋4y±24＝0.10．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.(1)证明不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短？并求这最短弦的长．[解析](1)证明：由kx－y－4k＋3＝0得(x－4)k－y＋3＝0.∴x－4＝0，－y＋3＝0.直线kx－y－4k＋3过定点P(4,3)．由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝4，又(4－3)2＋(3－4)2＝24，∴点P在⊙C内，∴直线和圆总有两个不同的交点．(2)kPC＝3－44－3＝－1.可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y－3＝x－4，即x－y－1＝0.|PC|＝|3－4－1|2＝2，∴|AB|＝2|AC|2－|PC|2＝22.[点评]当点P在⊙C内时，过点P的所有直线l中，当l⊥PC时，l被⊙C截得的弦长最短．证明如下：如图，P在⊙C内，直线AB过P，且AB⊥PC，直线DE是过P与PC不垂直的任意一条弦(不是直径)，过C作CM⊥DE，垂足为M，则PCCM，∴PC2CM2，∵CD2＝CA2，∴CD2－CM2CA2－PC2，∴DM2AP2，∴DMAP，∵DE＝2DM，AB＝2AP，∴DEAB，即过点P的任意与PC不垂直的弦长，总大于过点P与PC垂直的弦长(当DE为⊙C的直径时，DEAB显然成立).能力拓展提升11.(文)(2011·济南二模)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有|a－3＋4|2＝22，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(x－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．(理)若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是()A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定[答案]C[解析]圆心C(0,0)到直线l的距离d＝1a2＋b21⇒a2＋b21.故点P在⊙C外．12．(2012·福州八县联考)已知函数f(x)＝1－x－12，x∈[1,2]，对于满足1x1x22的任意x1、x2，给出下列结论：①f(x2)－f(x1)x2－x1；②x2f(x1)x1f(x2)；③(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]0；④(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]0.其中正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]曲线y＝1－x－12，x∈[1,2]表示圆(x－1)2＋y2＝1，位于直线x＝1右侧x轴上方的四分之一个圆，∵1x1x22，∴f(x1)f(x2)．因此，[(f(x2)－f(x1))](x2－x1)0，④错，③对；显然有kOAkOB，∴fx1x1fx2x2，∴x2f(x1)x1f(x2)，故②正确；又kAB＝fx2－fx1x2－x10，可能有kAB－1，也可能kAB－1，∴①错．13．(2012·石家庄一模)已知动圆的圆心C在抛物线x2＝2py(p0)上，该圆经过点A(0，p)，且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为________．[答案]1[解析]当圆心C的纵坐标为p时，C(2p，p)为圆心的圆方程为(x－2p)2＋(y－p)2＝2p2，令y＝0得，x＝2p±p，∴MC⊥NC，∴sin∠MCN＝1.14．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．[答案](x＋3)2＋(y－4)2＝4(x≠－95且x≠－215)[解析]如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(x2，y2)，线段MN的中点坐标为(x0－32，y0＋42)．由于平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42.从而x0＝x＋3，y0＝y－4.因为N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点(－95，125)和(－215，285)(点P在直线OM上时的情况)．15．(文)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．[分析](1)设出点P的坐标，由|PA|＝2|PB|写出方程，化简即可；(2)直线l2与曲线C只有一个公共点M，故l2与C相切，当|QC|取最小值时，|QM|取到最小值，故|CQ|为点C到l1的距离时满足要求．[解析](1)设点P的坐标为(x，y)，则x＋32＋y2＝2x－32＋y2，化得可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4.(理)已知过两定圆的一个交点O的动直线与两圆分别交于点A、B，求线段AB中点P的轨迹方程．[解析]以O为原点建立平面直角坐标系如图．因为两定圆均过原点O，故可设其方程分别为：x2＋y2－2ax－2by＝0，①x2＋y2－2cx－2dy＝0.②当动直线斜率存在时，设其方程为y＝kx.③将方程③分别与方程①②联立，可得xA＝2a＋bk1＋k2，xB＝2c＋dk1＋k2.设线段AB的中点为P(x，y)，则x＝xA＋xB2＝a＋c＋b＋dk1＋k2.④∵点P在直线y＝kx上，∴将k＝yx代入④消去k得，x＝a＋c＋b＋dyx1＋yx2.整理得x2＋y2－(a＋c)x－(b＋d)y＝0.⑤当动直线斜率不存在时，其方程为x＝0，分别代入①②可得A(0,2b)，B(0,2d)，则AB