2013走向高考数学8-7

基础巩固强化1.(2012·潍坊教学质量监测)椭圆x24＋y23＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是()A．3x＋2y－4＝0B．4x＋6y－7＝0C．3x－2y－2＝0D．4x－6y－1＝0[答案]B[解析]依题意得e＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，则所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y－12＝－23(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.2．(2012·大连部分中学联考)已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2[答案]B[解析]令A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的焦点F(p2，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－p2，即x＝y＋p2，将其代入y2＝2px＝2p(y＋p2)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以y1＋y22＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B.3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为()A．－2B．－8116C．1D．0[答案]A[解析]由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1→·PF2→＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在x≥1上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即PA1→·PF2→取最小值，最小值为－2.4．(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A、B两点，则cos∠AFB＝()A.45B.35C．－35D．－45[答案]D[解析]方法一：联立y2＝4x，y＝2x－4.解得x＝4，y＝4，或x＝1，y＝－2.不妨设A在x轴上方，∴A(4,4)，B(1，－2)，∵F点坐标为(1,0)，∴FA→＝(3,4)，FB→＝(0，－2)，cos∠AFB＝FA→·FB→|FA→|·|FB→|＝－85×2＝－45.方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝35，|AF|＝5，|BF|＝2，由余弦定理知，cos∠AFB＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22·|AF|·|BF|＝－45.5．设F是抛物线C1：y2＝2px(p0)的焦点，点A是抛物线C1与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()A．2B.3C.52D.5[答案]D[解析]由题意可知，抛物线C1的焦点为F(p2，0)，因为AF⊥x轴，则A(p2，±p)，不妨取A(p2，p)，则双曲线C2的渐近线的斜率为pp2＝ba，∴ba＝2，∴c2－a2a2＝4，∴e2＝5，∴e＝5.6．(2011·海南一模)若AB是过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝()A．－c2a2B．－b2a2C．－c2b2D．－a2b2[答案]B[解析]解法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，kAM·kBM＝y0－y1x0－x1·y0＋y1x0＋x1＝y20－y21x20－x21＝－b2a2x20＋b2－－b2a2x21＋b2x20－x21＝－b2a2.解法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－b2a2.7．(2012·安徽文，14)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.[答案]32[解析]本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系．解法1：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可知x1＋1＝3，x1＝2，∴A(2,22)，则直线AF斜率为k＝22－02－1＝22，所以AB方程为y＝22(x－1)，由y2＝4x，y＝22x－1，联立消去y得，2x2－5x＋2＝0，解之得x1＝2，x2＝12，∴B(12，－2)，所以|BF|＝x2＋1＝12＋1＝32.解法2：如图，l为抛物线的准线，AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，BM⊥AA1于M，交FO于N，则由△BFN△BAM得，|BF||BF|＋3＝2－|BF|3－|BF|，∴|BF|＝32.8．设直线l：y＝2x＋2，若l与椭圆x2＋y24＝1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为2－1的点P的个数为________．[答案]3[解析]设与l平行且与椭圆相切的直线方程为y＝2x＋b，代入x2＋y24＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±22，显见y＝2x＋2与两轴交点为椭圆的两顶点A(－1,0)，B(0,2)，∵直线y＝2x＋22与l距离d＝22－25，∴欲使S△ABP＝12|AB|·h＝52h＝2－1，须使h＝22－25，∵d＝h，∴直线y＝2x＋22与椭圆切点，及y＝2x＋4－22与椭圆交点均满足，∴这样的点P有3个．9．已知F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2＋y2＝b2相切，当直线PF的倾斜角为2π3时，此椭圆的离心率是________．[答案]277[解析]解法1：设直线PF与圆x2＋y2＝b2的切点为M，则依题意得OM⊥MF，∵直线PF的倾斜角为2π3，∴∠OFP＝π3，∴sinπ3＝bc＝32，椭圆的离心率e＝ca＝cc2＋b2＝11＋bc2＝11＋322＝277.解法2：依题意可知PF：y＝－3(x＋c)(c＝a2－b2)，又O到PF的距离为b，即3c2＝b，∴3c24＝b2＝a2－c2，∴4a2＝7c2，∴e＝ca＝277.10．(2012·昆明一中测试)过抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB，并说明理由．[解析](1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－p2的距离，∴1＋p2＝2，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y＝2x＋1，设点A、B、M的坐标分别为(x1，x214)、(x2，x224)、(x0，x204)，由方程组x2＝4y，y＝2x＋1.消去y得，x2＝4(2x＋1)，即x2－8x－4＝0，由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.∵MA⊥MB，∴MA→·MB→＝0，∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x214－x204)(x224－x204)＝0，∴(x1－x0)(x2－x0)＋116(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.∵M不与A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，∴1＋116(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x20＋16＝0，∴x20＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－480.∴方程x20＋8x0＋12＝0有解，即抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB.能力拓展提升11.(2011·新课标全国文，9)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48[答案]C[解析]设抛物线为y2＝2px，则焦点Fp2，0，准线x＝－p2，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝12×12×6＝36.12．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左右焦点分别为F1、F2，P为右支上一点，点Q满足F1Q→＝λ1QP→(λ10)且|F1Q→|＝2a，F2T→＝λ2TQ→，PT→·F2Q→＝0，则|OT|的值为()A．4aB．2aC．aD.a2[答案]C[解析]由题知Q、F1、P三点共线，F2、T、Q三点共线．∵|PF1|－|PF2|＝2a＝|F1Q|，∴|PQ|＝|PF2|，又PT⊥QF2，∴T为等腰三角形QPF2底边QF2的中点，连接OT，则OT为△F1QF2的中位线，所以|OT|＝a.13．(2011·海南五校联考)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且|NF|＝32|MN|，则∠NMF＝________.[答案]30°[解析]作NH垂直于准线于H，由抛物线的定义得|NH|＝|NF|，∴|NH||MN|＝|NF||MN|＝32＝sin∠HMN，得∠HMN＝60°，∴∠NMF＝90°－60°＝30°.14．(2012·山东苍山县期末)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．[答案]x24－y212＝1[解析]在⊙C方程中，令x＝0得y2－4y＋8＝0无解，令y＝0得x2－6x＋8＝0，∴x＝2或4，故双曲线方程中a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝12，∴双曲线的标准方程为x24－y212＝1.15．(2011·安徽模拟)点A、B分别为椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．[解析](1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则AP→＝(x＋6，y)，FP→＝(x－4，y)．由已知得x236＋y220＝1，x＋6x－4＋y2＝0.消去y得，2x2＋9x－18＝0，∴x＝32或x＝－6，由于y0，只能x＝32，于是y＝532，所以点P的坐标是(32，532)．(2)直线AP的方程是x－3y＋6＝0.设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是|m＋6|2，于是|m＋6|2＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.∵椭圆上的点(x，y)到点M的距离是d，∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2＝49(x－92)2＋15，由于－6≤x≤6，所以当x＝92时d取最小值15.16.(2012·吉林省实验中学模拟)如图所示，在△DEM中，ED→⊥EM→，OD→＝(0，－8)，N在y轴上，且DN→＝12(DE→＋DM→)，点E在x轴上移动．(1)求点M的轨迹方程；(2)过点F(0,1)作互相垂直的两条直线l1、l2，l1与点M的轨迹交于点A、B，l2与点M的轨迹交于点C、Q，求AC→·QB→的最小值．[解析](1)设M(x，y)，E(a,0)，由条件知D(0，－8)，∵N在y轴上且N为EM的中点，∴x＝－a，∵ED→⊥EM→，∴ED→·EM→＝(－a，－8)·(x－a，y)＝－a(x－a)－8y＝2x2－8y＝0，∴x2＝4y(x≠0)，∴点M的轨迹方程为x2＝4y(x≠0)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直线l1：y＝kx＋1(k≠0)，则直线l2：y＝－1kx＋1，由y＝kx＋1，x2＝4y，消去y得，x2－4kx－4＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，由y＝－1kx＋1，x2＝4y，消去y得，x2＋4kx－4＝0，∴x3＋x4＝－4k，x3x4＝－4.∵A、B在直线l1上，