2015年高考数学新高考创新题型之2函数与导数(含精析)[来源学优高考网1413120]

之2.函数与导数（含精析）一、选择题。1．设函数yfx在区间,ab上的导函数为fx，fx在区间,ab上的导函数为fx，若区间,ab上0fx，则称函数fx在区间,ab上为“凹函数”，已知54112012fxxmx22x在1,3上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（）A．31(,)9B．31[,5]9C．(,3]D．,52．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数1,()0,RxQfxxQð被称为狄利克雷函数，其中R为实数集,Q为有理数集，则关于函数()fx有如下四个命题：①0ffx；②函数fx是偶函数；③任取一个不为零的有理数T,fxTfx对任意的xR恒成立；④存在三个点112233,(),,(),,()AxfxBxfxCxfx，使得ABC为等边三角形.其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43．设函数xf的定义域为D,若函数xf满足条件：存在Dba,,使xf在ba,上的值域是2,2ba则称xf为“倍缩函数”，若函数txfx2log2为“倍缩函数”，则的范围是（）A.,41B.10，210.，CD.410，4．函数,0,ln20,322xxxxxxf直线my与函数xf的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为dcba,,,，有以下四个结论①4,3m②4,0eabcd③562112,2abcdeeee④若关于x的方程mxxf恰有三个不同实根，则m取值唯一.则其中正确的结论是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④5．)(xf是定义在D上的函数,若存在区间Dnm],[，使函数)(xf在],[nm上的值域恰为],[knkm，则称函数)(xf是k型函数．给出下列说法:①xxf43)(不可能是k型函数；②若函数xxy221是3型函数,则4m，0n；③设函数)0(2)(23xxxxxf是k型函数,则k的最小值为94；④若函数)0(1)(22axaxaay是1型函数,则mn的最大值为332．下列选项正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④6．已知函数()121fxx，[0,1]x.定义：1()()fxfx，21()(())fxffx，……，1()(())nnfxffx，2,3,4,n满足()nfxx的点[0,1]x称为()fx的n阶不动点.则()fx的n阶不动点的个数是（）A.2n个B.22n个C.2(21)n个D.2n个二、填空题。7．若函数xf同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有0xfxf②对于定义域上的任意21,xx，当21xx时，恒有02121xxxfxf，则称函数xf为“理想函数”。给出下列四个函数中：⑴xxf1⑵2xxf⑶1212xxxf，⑷0022xxxxxf，能被称为“理想函数”的有__（填相应的序号）。8．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数x组成的集合：对于函数x，存在一个正数M，使得函数x的值域包含于区间,MM.例如，当31212,sinxxxxxAxB时，，.现有如下命题：①设函数fx的定义域为D，则“fxA”的充要条件是“,,bRaDfab”；②函数fxB的充要条件是fx有最大值和最小值；③若函数fx，gx的定义域相同，且,fxAgxBfxgxB，则④若函数2ln22,1xfxaxxaRx有最大值，则fxB.其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的序号）9．如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y=lo12223,,2xgxyxy，的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是。10．若函数f（x）为定义域D上的单调函数,且存在区间Dba],[（其中ab）,使得当x∈时,f（x）的取值范围恰为,则称函数f（x）是D上的“正函数”,若kxxf2)(是)0,(上的正函数，则实数k的取值范围是三、解答题。11.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为116tay（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到25.0毫克以下时，学生方可进教室。那么药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？12.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（千台），其总成本为xG（万元），其中固定成本为3.2万元，并且每生产1千台的生产成本为4万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入xR（万元）满足20.581.2,05311.4,5xxxRxxx≤≤，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（Ⅰ）写出利润函数xfy的解析式（利润=销售收入总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少千台产品时，可使盈利最多？13.有一种新型的洗衣液，去污速度特别快.已知每投放(14kk且)kR个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关Oty0.11小时毫克系式近似为()ykfx，其中2161059()21151645xxfxxx.根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.（Ⅰ）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值；（Ⅱ）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？1．C【解析】由已知条件得'4311()443fxxmxx，则''32()4fxxmx，所以3240xmx在1,3恒成立，则24mxx，因为24xx在1,3递增，所以243xx，所以3m．4．A【解析】当0x时，22()23(1)44fxxxx，当0x时，(0)3f，由图可得，当直线my与函数xf的图像相交于四个不同的点，则4,3m，故①正确；由①得211(,]cee，56[,)dee，2ab，2ln2lncd，所以2lnln2cd，即4cde，故4abcdeab，由于20()()()12ababab，故4,0eabcd，故②正确；422eabcdcdcc，由对号函数的图像得4eycc，当211(,]cee递减，故456211eeceece，所以21,21265eeeedcba，故③正确；若关于x的方程mxxf恰有三个不同实根，则()yfx的图像与yxm有三个不同交点，过()yfx的图像上(1,4)和(0,3)的直线3yx正好与2lnyx相切，故有三个公共点，而与2()23fxxx相切的直线154yx与2lnyx有两个交点，故此时也有三个公共点，故④错误，综上，正确的命题有①②③．5．C【解析】由题意知0k，mn．对①若xxf43)(是k型函数，因为()fx在区间(,0)与(0,)上都是增函数所以方程43kxx有两个不同的非零实根，即方程2340kxx有两个不同的非零实根，所以当9160k，且0k时，即9016k时，方程2340kxx有两个不同的正实数根,()mnmn，这时)(xf在],[nm上的值域恰为],[knkm，所以函数4()3fxx是k型函数，故①错误．对②，若函数xxy221是3型函数,则存在区间],[nm，使函数)(xf在],[nm上的值域恰为[3,3]mn，函数xxy221的对称轴是1x，下面分三种情况讨论：（a）当1m时，函数xxy221在],[nm上的值域为2211,22nnmm，所以有2132nnm，2132mmn，以上两式相减得到221()4()2nmmn，因为mn，所以8nm，即8nm，所以213(8)2mmm，整理得28480mm，此方程无实数根；（b）当1,1mn时，有213112n，即16n，矛盾；（c）当1n时，有22132132mmmnnnmn时，可得40mn．综上所述，②正确．对③，函数)0(2)(23xxxxxf是k型函数,利用导数知识可得)0(2)(23xxxxxf在区间1(1,)3上是减函数，在区间1(,0)3上是增函数，若0n，且1(1,)3m则函数在区间[,]mn上的最大值为0，最小值为14()327f，要使427km，只要取427km，显然这时49k，且函数)(xf在],[nm上的值域恰为],[knkm，所以k的最小值不是94，因此③不正确．对④，若函数)0(1)(22axaxaay是1型函数,则xxaxaa221)(有两个不同的非零解，即01)(222xaaxa有两个不同的非零解m，n．由0得3a或1a，所以332341234)(24222aaaaaamn（当3a时取等号），所以mn的最大值为332．故选C．6．D.【解析】函数12,02()121122,12xxfxxxx，当1[0,]2x时，1()20fxxxx，当1(,1]2x时，12()223fxxxx，∴1()fx的1阶不动点的个数为2，当1[0,]4x，1()2fxx，2()40fxxxx，当11(,]42x，1()2fxx，22()245fxxxx，当13(,]24x，1()22fxx，22()423fxxxx，当3(,1]4x，1()22fxx，24()445fxxxx，∴2()fx的2阶不动点的个数为22，以此类推，()fx的n阶不动点的个数是2n个.7．4【解析】根据题中理性函数的说明需满足：定义域为R的奇函数，且在定义域内为单调递减函数。图中所给四个函数⑴定义域不是R排除，⑵为偶函数排除；⑶为定义在R上的奇函数，当其为减函数，也排除，⑷经检验符合题意.故选⑷.8．①③④【解析】（1）对于命题①“()fxA”即函数()fx值域为R，“bR，aD，()fab”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数()fx的定义域为D，则“()fxA”的充要条件是“bR，aD，()fab”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数()fxB，即存在一个正数M，使得函数()fx的值域包含于区间[,]MM．∴MfxM．例如：函数()fx满足25fx，则有55fx，此时，()fx无最大值，无最小值．∴命题②“函数()fxB的充要条件是()fx有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数()fx，()gx的定义域相同，且fxA，gxB