七-八年级三角形的奥数题及其答案

《三角形综合》例题1：AD，EF，BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝OF．求证：△AEB≌△DFC例题2：P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：AP⊥EF．例题3：△ABC的高AD与BE相交于H，且BH＝AC．求证：∠BCH＝∠ABC．例题4：在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ＝45°．求证：PQ＝PB＋DQ．例题5：过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：ED∥BC．例题6：如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA＝2，PB＝32，PC＝4，求ΔABC的边长.例题7：如图（l)，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD＝∠APB=α。且∠BPC＝∠CPD＝β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．(l）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β。(2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）.(3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2))，证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。例题8：已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。练习试题：1．如图，在ABC△中，ABC和ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC∥交AB于E，交AC于F，过点O作ODAC于D．下列四个结论：1902BOCA①°+；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设ODmAEAFn，，则AEFSmn△；④EF不能成为ABC△的中位线．其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）2．如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，DMCS、DACS和DBCS分别表示△DNC、△DAC、△DBC的面积。当AB∥CD时，有DMCS＝2DBCDACSS(1)（1）如图2，若图1中AB与CD不平行时，(1)式是否成立？请说明理由。（2）如图3，若图1中AB与CD相交于点O时，DMCS、DACS和DBCS有何种相等关系？试证明你的结论。图1MBDCA图2MBDCAO图3MBDCA3．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝62o，则∠AEB的度数是【】（A）124o（B）122o（C）120o（D）118o4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°.试探究MB、MN、CN之间的数量关系，并给出证明.5．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝_____________ABCP6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，60BAD，则EDC__________7．（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.8．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，BCE，，在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE．9．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__________________。（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD＝∠ACD②∠BAD＝∠CAD，③AB＋BD＝AC＋CD④AB－BD＝AC－CD参考答案例题1、证明：△OAE≌△ODF，因为：二边及夹角（对等角）相等，得：AE=DF。同理证得：△OBE≌△OCF，△OAB≌△OCD，得：EB=CF，AB=CD。因为：AE=DF，EB=CF，AB=CD三边相等。所以：△AEB≌△DFC例2F于点G延长EP交AB于M,延长FP交AD于N∵P为正方形ABCD对角线BD上任一点∴PM=PF,PN=PE又AMPN为矩形.∴AN=PM=PF∵∠EPF=∠BAC=90°∴△PEF≌△ANP∴∠NAP=∠PFE又∠NPA=∠FPG(对顶角)∠NAP+∠NPA=90°∴∠PFE+∠FPG=90°∴∠PGF=180°-(∠PFE+∠FPG)=90°∴AP⊥EF例3∵BH＝AC，∠BDH＝∠ADC＝90°，∠HBD＝∠CAD（这个知道的吧）∴△BDH≡△ADC∴HD＝CD，BD=AD∴△HDC与△ABD是等腰直角三角形∴∠BCH＝∠ABD=45°例4：在CB的延长线上取点G，使BG＝DQ，连接AG∵正方形ABCD∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABG＝∠D＝90∵BG＝DQ∴△ABG≌△ADQ（SAS）∴AQ＝AG，∠BAG＝∠DAQ∵∠PAQ＝45∴∠BAP+∠DAQ＝∠BAD-∠PAQ＝45∴∠PAG＝∠BAP+∠BAG＝∠BAP+∠DAQ＝45∴∠PAG＝∠PAQ∵AP＝AP∴△APQ≌△APG（SAS）∴PQ＝PG∵PG＝PB+BG＝PB+DQ∴PB+DQ＝PQ例5、例6例7（1）根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）（3）先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA证明△DP1P2≌△BP1P2而，那么△P1DP2和△P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点．解答：解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）．（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．（说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上．（9分）在△DP1P2和△BP1P2中，∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，∴△DP1P2≌△BP1P2．（11分）所以DP1=BP1，DP2=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称．设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，所以点P是四边形的半等角点．例8证明：（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC∴∠B=∠C，从而AB=AC。（2）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，EF分别是垂足，由题意知，OE=OF。在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFE。∴∠OBE=∠OCF，B=OC知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACD，∴AB=AC。（3）解：不一定成立。注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，AB≠AC，如示例图练习13解：∵等边△ABC、等边△CDE∴AC=BC，CE=CD，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB=∠ECD=60∵∠ACE=∠ACB-∠BCE，∠BCD=∠ECD-∠BCE∴∠BCD=∠ACE∴△ACE≌△BCD（SAS）∴∠CBD=∠CAE∵∠EBD＝62∴∠CBD＝∠EBD-∠CBD＝62-∠CBE∴∠CAE＝62-∠CBE∴∠BAE＝∠BAC-∠CAE＝60-62+∠CBE＝-2+∠CBE∴∠ABE+∠BAE＝60-∠CBE-2+∠CBE＝58∴∠AEB＝180-（∠ABE+∠BAE）＝1224CN＋BM＝MN证明：延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1由已知条件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠ABD＝∠ACD＝90°∵BD＝CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB＝∠M1DC，而DM＝DM1∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120°又∵∠MDN＝60∴∠M1DN＝∠MDN＝60°∴△MDN≌△M1DN∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝CN＋BM即CN＋BM＝MN5（1）证明：∵∠APB=∠BPC=∠CPA，三角之和是360º∴∠APB=∠BPC=120º∴∠PAB+∠PBA=180º-120º=60º∠ABC=∠PBC+∠PBA=60º∴∠PAB=∠PBC∴⊿PAB∽⊿PBC【∠APB=∠BPC，∠PAB=∠PBC】（2）解：∵⊿PAB∽⊿PBC∴PA/PB=PB/PC推出PB²=PA·PC=6×8=48PB=√48=4√36设∠EDC=x,∠B=∠C=y∠AED=∠EDC+∠C=x+y又因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=x+y则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y又因为∠ADC=∠B+∠BAD所以2x+y=y+30解得x=15所以∠EDC的度数是15度71）如图3，∵△OCD和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，∴∠4=∠5．又∵∠4+∠5=∠2=60°，∴∠4=30°．同理∠6=30°．∵∠AEB=∠4+∠6，∴∠AEB=60°．（2）如图4，∵△OCD和△ABO都是等边三角形，∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．又∵OD=OA，∴OD=OB，OA=OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7．∵∠DOB=∠1+∠3，∠AOC=∠2+∠3，∴∠DOB=∠AOC．∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，∴2∠5=2∠6，∴∠5=∠6．又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB=∠2+∠5-∠5=∠2，∴∠AEB=60°．8①可以找出△BAE≌△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE．②由①可得出∠DCA=∠ABC=45°，则∠BCD=90°，所以DC⊥BE．解答：解：①∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，在△BAE和△DAC中∴△BAE≌△CAD（SAS）．②由①得△BAE≌△CAD．∴∠DCA=∠B=45°．∵∠BCA=45°，∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，∴DC⊥BE．9