飞行器流动仿真讲稿第7章-拟一维喷管流动的数值模拟

2013年6月ComputationalFluidDynamicsTheBasicswithApplications第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题第7.2节亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）第7.3节亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（2）第7.4节全亚声速喷管等熵流动的CFD解法第7.5节含激波喷管流动的CFD解法本章以拟一维喷管流动为例，讨论CFD方法的具体应用；通过实际编写拟一维喷管流动数值模拟程序，掌握程序的调试手段与技巧，包括错误排除等，体会CFD求解问题的基本过程和步骤，加深对CFD方法的理解。为进一步学习和运用计算流体力学，自行开发流体力学数值程序或使用商业软件奠定必要的基础；本章对三个拟一维喷管定常流动问题，使用MacCormack两步显式方法计算：亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法；全亚声速喷管等熵流动的CFD解法；用激波捕捉法求解含激波的喷管流动。第7章拟一维喷管流动的数值模拟第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题拉瓦尔喷管横截面积A是轴向距离x的函数：第7章拟一维喷管流动的数值模拟一、流动模型喷管入口接驻室，其截面积足够大(理论上无穷大)，驻室内流速V≈0→驻室内压强和温度p0、T0为总压和总温；喷管出口处流体参数为：pe、Te、Ve、Mae等；喷管出口外环境压强（反压）为pa。喷管内部流动完全由进口总压p0和出口反压pa的差值决定。设喷管任意截面流动参数均匀，流动仅随x变化——拟一维定常流动；不考虑流体黏性——等熵流动。对于本章研究的三个问题，喷管内的流动状态分别为：亚声速—超声速等熵流动——pa远小于p0，内部流动由进口p0和面积决定，称为欠膨胀状态：收敛段为Ma1膨胀流；喉道(最小截面)处为Ma=1临界流，V*=a*；扩张段为Ma1膨胀流；反压变化不影响内部流动，也不影响Mae1和pe→只改变出口外的膨胀；第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题含激波喷管流动——pa比p0小一些，扩张段出现激波，流动由进口p0和出口反压pa的差值及面积变化决定，也是过度膨胀状态：收敛段为Ma1膨胀流；喉道处为Ma=1临界流，V*=a*；扩张段激波前为Ma1膨胀流，激波后为Ma1压缩流；反压变化影响激波位置；激波前后各为熵值不同的等熵流动。全亚声速等熵流动——pa比p0小得不多，喷管内部流动由进口p0和出口反压pa的差值及面积变化决定，称为过度膨胀状态：收敛段为Ma1膨胀流动；喉道Ma1；扩张段为Ma1压缩流动；任意两个截面流动参数的关系（控制方程组）二、拟一维定常等熵流动的解析解第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题Const222111AVAV22222212111121dAVApApAVApAA22222211VhVhRTpTchp等熵流动的解析解第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题11222211121MaMaAA120211Mapp1120211Ma120211MaTTRTMaV面积比公式(7-6)(7-7)(7-8)(7-9)(7-10a)第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题①已知总温、总压和临界截面积A*——由(7-6)式解出待求截面的马赫数Ma，再用(7-7)式~(7-9a)式求出其它参数；②已知总温、总压和待求截面的压强——由(7-7)式解出待求截面的马赫数Ma，再用(7-7)式~(7-9a)式求出其它参数；③已知总温、总压和某截面的马赫数——由(7-6)式解出临界截面积A*，再用(7-6)式解出待求截面的马赫数Ma，用(7-7)式~(7-9a)式求出其它参数。等熵流动三类问题守恒形式控制方程组三、拟一维无黏流动的控制方程组第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题0xVAtAxpAxAVtVA2xpAVxVAVetAVe2222双曲型方程组非守恒形式控制方程组第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题0xAVxVAxVAtAxTxTRxVVtVxApVxVpxeVtelnxAVxVRTxTVctTcvvln量热状态方程e=cvT，cv=Const双曲型方程组无量纲化更容易观察流动，并可把流动规律推广到同类问题。合理使用无量纲量，使参与计算的各量具有差不多的量级，还可避免在计算中出现大小相差悬殊的数值；使用无量纲控制方程组计算完毕后，根据需要可将无量纲量重新化为有量纲量。选择如下参考量：四、控制方程组的无量纲化第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题温度：滞止温度T000RTa无量纲内能：e′=e/e0无量纲温度：T′=T/T0密度：滞止密度ρ0无量纲密度：ρ′=ρ/ρ0内能：滞止内能e0=cvT0长度：喷管全长L无量纲长度：x′=x/L无量纲时间：t′=t/t0速度：滞止声速a0无量纲速度：V′=V/a0时间：t0=L/a0面积：喉道面积At无量纲面积：A′=A/At1.非守恒形式控制方程组的无量纲化第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题以连续方程（7-42）为例推导无量纲形式。将连续方程按以下方式改写00000000000000000LLxAAAaaVLLxAAAaaVLLxaaVAAAtttAAAtttttttt第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题换成无量纲量000000000LxAAaVLxAAaVLxaVAAttAAtttt参考量都是常数化简为0xAVxAVxVAtAxAVxVxVtln与有量纲形式完全相同进一步化简为同理可得动量方程和能量方程的无量纲形式。第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题为简便计，去掉“′”，仍用原符号表示，只要记住它们都是无量纲量即可。则适合时间推进求解的无量纲形式的控制方程组xAVxVxVtlnxTxTxVVtV1xAVxVTxTVtTln12.守恒形式控制方程组的无量纲化第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题采用与非守恒控制方程组无量纲化相同的方法，可得无量纲形式的守恒控制方程组，仍用原符号表示0xVAtAxApxpAAVtVA1120212122xpAVVAVetAVe第7.1节拟一维喷管流动的三个物理问题将守恒形式控制方程组写成矩阵形式JxFtUAVeAVAU221pAVVAVepAAVAVF22211010xApJAU112UUV21321VUUTTpTe守恒变量U与原始变量关系第7.2节亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）沿x轴喷管的面积分布是二次函数第7章拟一维喷管流动的数值模拟一、问题的提法喉道位于x=1.5处；截面积是以喉道面积为参考值的无量纲面积；轴向坐标x以喉道距进口距离(而不是喷管全长)为参考值。本节使用MacCormack两步显式方法求解非守恒形式控制方程组。1.喷管的形状305.12.212xxA2.物理条件第7.2节亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）气体为标准空气，γ=1.4；进口给定总温和总压，无量纲值：p0=1，T0=1，ρ0=1对出口达超声速的情况，环境反压必须很低。本计算不需要反压的具体值，它不会影响喷管内部的流动。3.精确解亚声速—超声速喷管等熵流动为定常流动；临界状态出现在喉道截面，喉道截面积就是临界面积tAA已知p0、T0和A*，对给定截面A，由(7-6)式解出Ma，收敛段取Ma1，扩张段取Ma1；用(7-7)~(7-9a)式求出p、ρ、T和V——流动参数分布完全取决于面积分布；第7.2节亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）第7.2节亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）第7.2节亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）对一维问题，网格生成非常简单，只需代数方法即可；有限差分方法使用均匀网格，取网格点数为N=31则网格间距为二、网格生成1.0300.31NLxNixxxxii,3,20.011网格点坐标为于是，每个网格点对应的截面积可由(7-73)式计算出来。第7.2节亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）非守恒形式控制方程组由(7-46)、(7-48)和(7-50)式组成三、MacCormack显式两步格式算法1.非守恒形式控制方程组xAVxVxVtlnxTxTxVVtV1xAVxVTxTVtTln1用非定常方程求解定常问题时间相关法时间推进第7.2节亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）类似于（6-17）式，以一阶前差离散非守恒控制方程组，计算时间偏导数2.预估步xAAVxVxVVtiitititititititititilnln111xTxTTxVVVtVtitititititititititi1111xAAVxVVTxTTVtTiititititititititilnln1111第7.2节亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）由时间偏导数计算预估值tttitittittVVVtitittittTTTtititti3.校正步以一阶后差离散非守恒控制方程组，用预估值计算时间偏导数xAAVxVxVVtiittittittittittittittittitti111lnln第7.2节亚声速—超声速喷管等熵流动的CFD解法（1）xTxTTxVVVtVttittittittittittittittittitti1111x