微分方程第十二章yxfy求已知,)(—积分问题yy求及其若干阶导数的方程已知含,—微分方程问题推广微分方程的基本概念机动目录上页下页返回结束第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第十二章引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:xxy2dd①(C为任意常数)由②得C=1,.12xy因此所求曲线方程为21xy②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.机动目录上页下页返回结束引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,00ts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得因此所求运动规律为tts202.02说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).机动目录上页下页返回结束常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),,,,()(nyyyxF),,,,()1()(nnyyyxfy(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或机动目录上页下页返回结束,00ts200ddtts引例24.022ddxy—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(nnyxyyxyyxy—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解xxy2dd21xy引例1Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212xy特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.机动目录上页下页返回结束例1.验证函数是微分方程的解,,0Axt00ddttx的特解.解:)cossin(212tkCtkCk这说明tkCtkCxsincos21是方程的解.是两个独立的任意常数,),(21为常数CC利用初始条件易得:故所求特解为tkAxcos故它是方程的通解.并求满足初始条件机动目录上页下页返回结束求所满足的微分方程.例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为QPQxyox解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即02xyy点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,第二节目录上页下页返回结束P263(习题12-1)1;2(3),(4);3(2);4(2),(3);6思考与练习转化可分离变量微分方程机动目录上页下页返回结束第二节解分离变量方程xxfyygd)(d)(可分离变量方程)()(dd21yfxfxy0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22第十二章分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设y=(x)是方程①的解,xxfxxxgd)(d)())((两边积分,得xxfd)(①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)=g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y=(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x=(y)也是①的解.机动目录上页下页返回结束例1.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxyCxylnln3即1CeC令(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)机动目录上页下页返回结束例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y机动目录上页下页返回结束例3.求下述微分方程的通解:解:令,1yxu则故有uu2sin1即Cxutan解得Cxyx)1tan((C为任意常数)所求通解:机动目录上页下页返回结束练习:解法1分离变量Ceexy即01)(yxeCe(C0)解法2,yxu令故有ueu1积分Cxeuu)1(ln(C为任意常数)所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1(机动目录上页下页返回结束例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量,,lnlnCtM得即teCM利用初始条件,得0MC故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动目录上页下页返回结束例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,然后积分:得)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)1(tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.kmgvt足够大时机动目录上页下页返回结束cm100例6.有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变r解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即thgVd262.0d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由h降到),0d(dhhhhhdhho机动目录上页下页返回结束cm100rhhdhho对应下降体积hrVdd222)100(100hr2200hhhhhVd)200(d2因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:hhhgtd)200(262.0d2321机动目录上页下页返回结束gt262.0两端积分,得g262.0hhhd)200(2321233400(h)5225hC利用初始条件,得5101514262.0gC因此容器内水面高度h与时间t有下列关系:)310107(265.4252335hhgt1000thcm100rhhdhho机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x及y=C机动目录上页下页返回结束(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P263,5(2))2)根据物理规律列方程(如:例4,例5)3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤机动目录上页下页返回结束思考与练习求下列方程的通解:提示:xxxyyyd1d122(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln机动目录上页下页返回结束作业P2691(1),(5),(7),(10);2(3),(4);4;5;6第三节目录上页下页返回结束,0)1,0(,1FCF备用题已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有xFxFxsincosxFxyFysinsin即因此有]dcosdsin[),(yxxxyyxFL0),(yxF.)(xfyxyFFyxtanxyytan10xyxycos1xsec]sin),([]cos),([xyyxFyxyxFxy机动目录上页下页返回结束齐次方程机动目录上页下页返回结束第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程第十二章一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令,xyu代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束例1.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)机动目录上页下页返回结束例2.解微分方程解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)(说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.机动目录上页下页返回结束oyx可得OMA=OAM=例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角xycotxyy22yxOMTMAPy取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OMOPAP要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:xyy22yx机动目录上页下页返回结束利用曲线的对称性,不妨设y0,,yxv令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy得)2(22CxCy(抛物线)221)(vvCy故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)机动目录上页下页返回结束顶到底的距离为h,hdC82说明:)(222CxCy则将这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得)0,(2CoyxA机动目录上页下页返回结束(h,k为待*二、可化为齐次方程的方程)0(212cc,.111时当bbaa作变换kYyhXx,,dd,ddYyXx则原方程化为ckbha111ckbha令,解出h,k(齐次方程)定常数),机动目录上页下页返回结束求出其解后,即得原方程的解.,.211时当bbaa原方程可化为1)(ddcybxacybxaxy令,ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程)0(212cc)0(b机动目录上页下页返回结束例4.求解解:04kh令,5,1YyXxYXYXXYdd得再令Y=Xu,得令06kh5,1kh得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量,得原方程的通解:机动目录上页下页返回结束15arctanxy2151ln21xy)1(lnxC得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:作业P2761(1),(4),(6);2(2),(3);3;4(4)第四节目录上页下页返回结束一阶线性微分方程机动目录上页下页返回结束第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第十二章一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程;机动目录上页下